§ 1. Фазовые траектории и интегральные кривые на фазовой плоскости

Итак, будем рассматривать систему двух автономных дифференциальных уравнений первого порядка:

описывающих движения некоторой динамической системы второго порядка, предполагая, что состояния этой динамической системы взаимно однозначно и непрерывно соответствуют точкам фазовой

плоскости х, у. Функции и будем полагать аналитическими (на всей фазовой плоскости).

Условия теоремы Коши о существовании и единственности решения системы дифференциальных уравнений (см. Дополнение I) для уравнений (5.1), очевидно, выполнены, и поэтому существует единственная система функций: удовлетворяющая уравнениям (5.1) и заданным начальным условиям: при Так как решение зависит от начальных условий, то иногда, для того чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы будем записывать такое решение в следующем виде:

Отметим, что являются аналитическими функциями не только времени но и координат начального состояния системы

Всякое решение (5.2) (с заданными мы можем рассматривать как параметрическое уравнение некоторой кривой на фазовой плоскости х,у, которая пробегается изображающей точкой при заданном движении системы. По принятой нами терминологии такие кривые носят название фазовых траекторий.

С другой стороны, решение (5.2) мы можем рассматривать и как уравнения кривых в пространстве как уравнения интегральных кривых системы уравнений (5.1). Ясно, что каждая фазовая траектория является проекцией на фазовую плоскость некоторой интегральной кривой в пространстве Более того, в силу автономности уравнений (5.1) все их интегральные кривые (5.2) с одинаковыми но с различными образуют в пространстве цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси следовательно, проектируются на одну и ту же фазовую траекторию на фазовой плоскости (рис. 213). Иными словами, каждая фазовая траектория соответствует совокупности движений динамической системы, проходящих через одни и те же состояния и отличающихся друг от друга лишь началом отсчета времени.

Так как условия теоремы Коши для системы уравнений (5.1) выполнены, то через каждую точку пространства проходит единственная интегральная кривая этой системы уравнений, т. е. интегральные кривые в пространстве пересекаться не могут.

Рис. 213.

То же самое благодаря автономности уравнений (5.1) можно сказать и о фазовых траекториях: они также не могут пересекаться, так как через каждую точку фазовой плоскости проходит единственная фазовая траектория.

Для иллюстрации сказанного рассмотрим следующий пример. Если в некоторой точке функции и обращаются в нули, то уравнения (5.1) имеют своим решением: (а в пространстве интегральную прямую, параллельную

оси фазовая траектория, соответствующая этому состоянию равновесия, состоит из одной (изолированной) точки. В силу только что указанного свойства фазовых траекторий изображающая точка, двигаясь по другим фазовым траекториям, не может прийти в состояние равновесия ни при каком конечном Точно так же изображающая точка, не находящаяся на предельном цикле, не может прийти на него за какой-либо конечный интервал времени. Таким образом, установление состояний равновесия или периодических колебаний в динамических системах, описываемых уравнениями (5.1) с правыми частями, удовлетворяющими условиям теоремы Коши, происходит только асимптотически (только при

Если разделить одно из уравнений (5.1) на другое, то мы исключим время и получим одно уравнение первого порядка:

которое во многих случаях более легко интегрируется, чем система второго порядка (5.1). Решение этого уравнения (или в неявной форме где С — постоянная интегрирования, дает нам семейство его интегральных кривых, т. е. таких кривых на плоскости х, у, которые в каждой своей точке имеют наклон касательной, определяемый уравнением (5.3)). Применяя теорему Коши к уравнению (5.3), можно доказать, что вследствие аналитичности функций и через каждую точку плоскости х, у проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (5.3), за исключением, быть может, особых точек этого уравнения, где оно теряет смысл. В рассматриваемом нами случае особыми точками являются только те точки, в которых т. е. только состояния равновесия системы В них интегральные кривые могут пересекаться.

Как легко видеть, каждая фазовая траектория является интегральной кривой или, по крайней мере, ее частью, а интегральная кривая (или ее дуга), не проходящая через особую точку, непременно является фазовой траекторией. С другой стороны, интегральная кривая, проходящая через особую точку, всегда состоит из нескольких фазовых траекторий. Тем не менее, интегрируя более простое

уравнение (5.3) и находя его интегральные кривые, мы получаем одновременно и разбиение фазовой плоскости на фазовые траектории: фазовыми траекториями будут особые точки (состояния равновесия), интегральные кривые, не проходящие через особые точки, и дуги интегральных кривых, заключенные между двумя особыми точками (или между особыми точками и бесконечностью). Конечно, уравнение интегральных кривых (5.3) не дает нам никаких указаний о направлении движения изображающей точки по найденным фазовым траекториям, так как время из него исключено. Направление движения изображающей точки определяется из уравнений (5.1).