6. Пример. Совместное существование двух видов.

Мы рассматривали до сих пор в виде примеров либо механические, либо электрические системы, для которых вопрос о консервативности решался непосредственно из физических соображений: поскольку трение или сопротивление в системе отсутствует, мы сразу можем сделать заключение, что система консервативна. Однако возможны случаи, когда такие простые соображения для решения вопроса о том, консервативна ли система, уже не могут быть применены. Необходимым критерием консервативности служит приведенный в предыдущем параграфе признак натичия однозначного аналитического интеграла вида В качестве примера такой системы, для которой вопрос о консервативности не может быть решен заранее, мы приведем пример из области биологии, принадлежащий Вольтерра [175, 199, 45], именно мы рассмотрим совместное существование двух видов животных (например, двух видов рыб). Первый вид питается продуктами среды, которые, мы предположим, имеются всегда в достаточном количестве. Рыбы второго вида питаются только рыбами первого вида. Число особей каждого вида есть, конечно, целое число и, следовательно, может изменяться только скачками, но чтобы иметь возможность применить методы дифференциального исчисления, мы будем рассматривать их как

непрерывные функции времени. Обозначим число особей первого вида через второго — через Мы предположим, что если бы первый вид жил один, то число особей его непрерывно увеличивалось бы, причем скорость увеличения мы предположим пропорциональной числу имеющихся налицо особей; тогда мы можем написать:

причем Этот коэффициент увеличения зависит от смертности и рождаемости. Если бы второй вид жил один, то он бы постепенно вымирал, так как ему нечем было бы питаться, поэтому для второго вида мы можем написать:

Теперь предположим, что оба вида живут совместно, тогда коэффициент увеличения первого вида будет тем меньше, чем больше так как рыб первого вида поедают рыбы второго вида. Мы сделаем простейшее предположение, а именно, что коэффициент увеличения уменьшается на величину, пропорциональную : аналогичным образом предположим, что коэффициент уменьшения второго вида в силу наличия первого вида (наличия пищи) изменяется на величину, пропорциональную При этих предположениях мы получаем следующую систему дифференциальных уравнений:

причем все больше нуля Умножая первое уравнение на второе — на и складывая, получим:

умножая же первое на и второе на и складывая, имеем:

Следовательно,

Последнее уравнение непосредственно интегрируется, и мы найдем однозначный интеграл:

Этот интеграл мы можем записать в таком виде:

Нетрудно убедиться, что выражение

будет интегральным инвариантом. На основании этого мы заключаем, что рассматриваемая система является консервативной.

Рис. 108.

Перейдем теперь к исследованию вида интегральных кривых. Для этого перепишем уравнение (2.73) в следующем виде:

и построим кривые

откуда искомая траектория определяется соотношением

Возьмем две взаимноперпендикулярные прямые и отложим на них оси , как это показано на рис. 108. Во втором

и четвертом квадранте нанесем соответственно кривые Форму этих кривых легко определить из следующей таблицы:

так как

В первом квадранте проведем прямую Возьмем какую-нибудь точку на прямой например Проведем через нее две прямые - одну параллельную оси другую параллельную оси

Рис. 109.

Пусть будут точки пересечения этих прямых с кривыми из точек проведем две прямые, параллельные оси и через точки две прямые, параллельные оси Точки пересечения этих прямых и принадлежат интегральной кривой Геометрическое место таких точек, когда точка скользит по прямой и есть искомая интегральная кривая. Нетрудно видеть, что интегральные кривые все замкнуты, кроме одной, соответствующей координатным осям. Состояние равновесия — особая точка типа центра с координатами

Итак, мы видим, что в исследуемом случае изменение численности обоих видов происходит по периодическому закону. На рис. 109 приведены зависимости и от времени.