§ 5. Пример: состояния равновесия в цепи вольтовой дуги

В качестве примера, иллюстрирующего применение методов Ляпунова для определения устойчивости состояний равновесия, рассмотрим состояния равновесия в цепи вольтовой дуги, включенной последовательно с индуктивностью и зашунтированной емкостью (рис. 233).

Рис. 233.

Эта схема представляет собой некоторое видоизменение схемы дугового генератора; рассмотренная выше нами схема вольтовой дуги с одной индуктивностью (гл. IV, § 5) получается из этой схемы в предположении, что она не содержит емкости Предполагая, что через дуговой промежуток является функцией напряжения на дуге, т. е. снова пренебрегая инерционностью ионных процессов в дуге, нетрудно при помощи законов Кирхгофа получить следующие уравнения колебаний в схеме (они записаны в обозначениях, приведенных на рис. 233):

где напряжение на дуге, являющееся однозначной функцией силы тока протекающего через дугу (графически мы изображали эту зависимость — статическую характеристику дуги — так, как это указано на рис. 234).

Рис. 234.

Состояния равновесия системы определяются из условий из которых получаются уравнения:

Следовательно, состояниями равновесия являются точки пересечения этих прямой и кривой. В зависимости от величин этих точек может быть либо одна (рис. 235), либо три (рис. 236). Для анализа устойчивости состояний равновесия мы по методу Ляпунова подставляем в уравнения где значения, соответствующие какому-либо из состояний равновесия. Далее, разлагая характеристику дуги в ряд

и ограничиваясь первым членом ряда, мы получим два уже линейных дифференциальных уравнения для и (так как и удовлетворяют условиям (5.44) и все члены, их содержащие, вместе дадут нуль):

где тангенс угла наклона характеристики дуги в точке, соответствующей данному состоянию равновесия (величина размерности сопротивления).

Рис. 235.

Рис. 236.

Сопротивление дуги величина переменная, которая при некоторых значениях может принимать отрицательные значения; однако, пользуясь этим понятием, нужно помнить все оговорки, которые мы сделали, когда впервые ввели термин «отрицательное сопротивление» (гл. I, § 6).

Характеристическое уравнение этой системы дифференциальных уравнений в виде детерминанта запишется так:

откуда

Характер корней уравнения зависит от значений четырех параметров: Для того чтобы выяснить характер этих корней при всех возможных значениях параметров, мы построим три диаграммы:

разбиение плоскостей параметров схемы на области, каждая из которых соответствует определенному типу состояний равновесия, именно, разбиение плоскостей при этом нужно иметь в виду, что могут принимать только положительные значения, в то время как может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Для построения первой диаграммы приведем условие комплексности корней к виду

Граница области комплексных корней определяется уравнением четвертого порядка (относительно которое распадается на два уравнения второго порядка:

Каждое из этих уравнений определяет гиперболу; уравнения их отнесены к асимптотам, причем одной из асимптот для обеих кривых является ось а другой: для первой кривой — прямая и для второй — прямая

«Кривой клин», образованный обеими гиперболами и 2 (рис. 237), как легко видеть, и представляет собой область комплексных корней. Границей области корней с положительной действительной частью, т. е. границей области устойчивости узлов и фокусов, является кривая т. е. гипербола 3 с осями в качестве асимптот, расположенная в четвертом квадранте и пересекающая гиперболу 1 в точке (см. рис. 237). Очевидно, что все узлы и фокусы, лежащие выше этой гиперболы, устойчивы, лежащие ниже — неустойчивы. Наконец, границей области седел является прямая 4, определяемая уравнением так как при корни уравнения (5.46), как известно, всегда будут разных знаков. Очевидно, что область, лежащая ниже прямой является областью особых точек типа седла. Мы получаем в результате для параметров диаграмму разбиения плоскости этих параметров на области различных типов особых точек, приведенную на рис. 237.

Как видно из этой диаграммы, при (выше оси существуют только устойчивые особые точки. Эти точки будут фокусами, если (сопротивление дуги, т. е. сопротивление в контуре) не слишком велико и сопротивление нагрузки, шунтирующей контур, не слишком мало. При (падающие участки характеристики)

состояния равновесия могут быть устойчивы, только если не слишком велико и, с другой стороны, R не слишком мало и не слишком велико. При возможны все три типа неустойчивости: неустойчивый узел, неустойчивый фокус и седло.

Рис. 237.

Далее фокус (устойчивый или неустойчивый в зависимости от знака получается при если достаточно велико, и это условие аналогично условию осцилляторности для обычного линейного контура.

Вообще при и можно, изменяя величину R, получить любую особую точку, если же то возможны только неустойчивые особые точки — либо седло, либо неустойчивый узел в зависимости от величины параметра

Для того чтобы установить зависимость типа особой точки от других параметров, мы построим аналогичные диаграммы для (рис. 238) и (рис. 239). Для обеих диаграмм граница комплексных корней выразится уравнением

или

На диаграмме эта граница представляет собой одну кривую с асимптотой вертикальной касательной в точке и горизонтальной касательной в точке

Рис. 238.

На диаграмме эта граница распадается на две кривые гиперболического типа с асимптотами Граница области устойчивости узлов и фокусов, определяемая уравнением представляет собой для второй диаграммы гиперболу с осями координат в качестве асимптот и для первой диаграммы — прямую. Граница области особых точек типа седла дается уравнением

т. е. и в той и в другой диаграмме представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс. В результате мы получаем две диаграммы, изображенные на рис. 238 и 239. Легко убедиться, что эти диаграммы вполне согласуются с первой, изображенной на рис. 237,

и лишь дополняют ее. Все три диаграммы позволяют судить о характере особых точек при любых значениях параметров

Очевидно, состояние равновесия, лежащее на восходящем участке характеристики дуги (например, точка на рис. 236), всегда устойчиво, так как для него Зная соотношения между мы могли бы сразу установить, принадлежит ли это состояние равновесия к типу фокусов или к типу узлов. Если же состояние равновесия лежит на падающем участке характеристики дуги (в области отрицательных и наклон нагрузочной прямой меньше наклона характеристики дуги, т. е. если (эти условия всегда выполняются для среднего состояния равновесия в случае существования трех состояний равновесия — для точки 2 на рис. 236), то это состояние равновесия является седлом и, следовательно, неустойчиво как при малых, так и при больших

Рис. 239.

Наконец, состояние равновесия, лежащее на падающем участке характеристики дуги но для которого (это и имеет место, например, для точки 3 на рис. 236), не может быть седлом и является либо узлом, либо фокусом. Это состояние равновесия устойчиво при малых С (см. рис. 239), а при малых L, как это следует из рис. 238, неустойчиво.

Два условия устойчивости состояния равновесия на падающем участке характеристики дуги:

при сводятся к одному условию: как это мы получили в § 6 гл. IV, если положить Однако, поскольку любая схема обладает некоторой, пусть малой, паразитной емкостью, для устойчивости состояния равновесия на падающем участке характеристики дуги необходимо (кроме выполнения условия чтобы схема содержала некоторую, не слишком малую индуктивность, тем меньшую, чем меньше емкость С.

При рассмотрении устойчивости состояний равновесия в схеме с вольтовой дугой мы пользовались статической, характеристикой дуги, которая, строго говоря, относится только к установившимся,

равновесным процессам в дуге. Поэтому наше рассмотрение будет удовлетворительным только при достаточно медленных колебаниях в схеме, что имеет место при достаточно больших L или С. Если же малы и в схеме имеют место быстрые колебания, то в этом случае инерционность ионных процессов в дуге играет существенную роль, и мы не можем для анализа устойчивости равновесных состояний использовать статическую характеристику дуги, а должны вместо нее применить динамические (дифференциальные) уравнения, которые с той или иной степенью точности отображают динамику дугового разряда. Оказывается, инерционность дугового разряда является стабилизирующим фактором, достаточным для того, чтобы состояние равновесия схемы при малой емкости С стало устойчивым без всякой индуктивности в цепи дуги.

Простейшее дифференциальное уравнение первого порядка, которое в какой-то мере отображает динамику процессов в дуге вблизи состояний равновесия может быть записано в виде:

где напряжение на зажимах дуги [200,51]. Это уравнение приближенно учитывает инерционность дугового разряда, которая обусловлена главным образом тепловой инерцией электродов дуги и газового промежутка (постоянная времени характеризующая эту инерционность, имеет порядок величины, равный Из уравнения (5.48) как предельные случаи мы получаем и линеаризованную статическую характеристику если положить производные равными нулю, и динамическую характеристику для высокочастотных колебаний, когда тепловое состояние дуги не успевает изменяться и дуга ведет себя как обычный проводник, подчиняющийся закону Ома, если считать производные настолько большими, что в уравнении можно отбросить члены

Для схемы дуги без индуктивности, но с емкостью, кроме уравнения (5.48) имеем:

(мы пишем уравнение сразу для отклонений напряжения и тока от их равновесных значений). Характеристическое уравнение для системы линейных дифференциальных уравнений (5.48) и (5.49) имеет вид:

и следовательно, состояние равновесия на падающем участке статической характеристики будет устойчивым, если

Эти условия выполняются при достаточно больших сопротивлениях R и при достаточно малых емкостях С. Таким образом, схема дуги с малой емкостью (например, с будет иметь устойчивое состояние равновесия на падающем участке характеристики и без всякой индуктивности в ее цепи, если только Этот вывод находится в качественном согласии с экспериментальными данными.