2. Ламповый генератор в случае ломаных характеристик без насыщения.

Рассмотрим теперь, также с помощью метода малого параметра, автоколебания генератора, характеристика лампы которого не имеет насыщения и изображается в виде двух прямолинейных отрезков: горизонтального и наклонного (рис. 482), т. е. крутизна характеристики

( напряжение запирания лампы).

Как мы видели в § 2 гл. VIII, в случае такой ограниченной с одной стороны характеристики при известных условиях возможны устойчивые автоколебания.

Рис. 482.

Ламповый генератор (например, с колебательным контуром в цепи сетки (рис. 465, а)) при такой кусочно-линейной характеристике лампы близок к гармоническому осциллятору только при малом затухании колебательного контура и при слабой обратной связи. Уравнение для напряжения на конденсаторе («безразмерного») будет иметь вид (см. § 1 настоящей главы):

где

приведенное напряжение запирания лампы и дифференцирование ведется по безразмерному времени

Очевидно, при т. е. при самовозбуждения нет,

В качестве периодического решения (в нулевом приближении) можно взять:

К мы будем считать положительным; так как фаза произвольна, то это не нарушает общности. Амплитуда автоколебаний К определится из условия, что или иначе

где есть то значение и, при котором т. е.

Амплитуда автоколебаний К не входит явно в уравнение (9.85), но она не произвольна, а определяется из соотношения

где в свою очередь определено уравнением (9.85). Последнее после проведения интегрирования принимает такой вид:

или

Соотношения и (9.85в) дают зависимость амплитуды К от параметра генератора а, выраженную в параметрической форме (через вспомогательный параметр : при и при

Так как знаменатель выражения (9.85в) является монотонно возрастающей функцией причем при согласно (9.85в) при т. е. при и при когда Таким образом, каждое значение параметра а:

однозначно определяет (с помощью уравнения следовательно, амплитуду автоколебаний К. Если же неравенства (9.86) не выполнены, то уравнение (9.856) не имеет решения, а исходное уравнение (9.3) не имеет периодических решений. Итак, только при выполнении условий (9.86) существует предельный цикл, и притом единственный.

Перейдем к исследованию устойчивости найденного периодического решения. Как известно, условие устойчивости заключается в том, чтобы постоянный член Фурье разложения функции

был меньше нуля, т. е. чтобы

или, используя (9.856):

Это условие выполнено при т. е. при и не выполнено при когда

Таким образом, при при мы в зависимости от значения параметра имеем три качественно различных разбиения фазовой плоскости на траектории (рис. 483 — 486): все траектории идут при к устойчивому состоянию равновесия (рис. 483); при существует устойчивый предельный цикл, к которому при стремятся все траектории (рис. 485); радиус этого предельного цикла при

Рис. 483.

Рис. 484.

Рис. 485.

Рис. 486.

(т. е. предельный цикл уходит в бесконечность при и при а все траектории уходят в бесконечность (рис. 486). Минимальная величина К равна и соответствует Поэтому при переходе а через значение сразу появляется предельный цикл конечных размеров. В момент появления предельного цикла (т. е. при или при возможны периодические колебания с любыми амплитудами в этом случае генератор имеет состояние равновесия типа центра (рис. 484).

Рис. 487.

При (при состояние равновесия всегда устойчиво (устойчивый фокус). К этому состоянию равновесия приближаются все траектории, если а (рис. 487). Если же а то существует неустойчивый предельный цикл (его радиус тем меньше, чем больше а), вне которого траектории уходят в бесконечность (рис. 488).

Уход фазовых траекторий в бесконечность при а очевидно, означает неудовлетворительность использованной нами идеализированной характеристики лампы (мы пренебрегали

сеточными токами и анодной реакцией, которые заведомо играют существенную роль при больших положительных напряжениях на сетке лампы, получающихся при достаточно большой обратной связи).

Рис. 488.