§ 4. Теория часов. Модели с ударами

Часы представляют собой, как известно, такую колебательную систему, которая способна совершать колебания со стационарной амплитудой, не зависящей от начальных условий. Правда, для того чтобы часы пошли, т. е. чтобы эта стационарная амплитуда установилась, обычно нужен некоторый достаточно большой начальный толчок, но амплитуда установившихся колебаний сама по себе не зависит от величины начального толчка (иначе говоря, в большинстве часов имеет место жесткий режим возбуждения автоколебаний). Если начальный толчок слишком мал, то периодический процесс вообще не установится, колебания затухнут. Эта область начальных значений, из которой система стремится к состоянию равновесия, а не к состоянию периодического движения, в разных часах может быть разной величины и зависит от устройства часов, но, как правило, существует во всяких часах. Эти характерные черты часового механизма мы и попытаемся объяснить, рассматривая возможно более простые, идеализированные модели часов.

Всякий часовой механизм грубо может быть разделен на три основных части: 1) колебательная система, например маятник, балансир, горизонтальный маятник и т. д.; 2) заводной механизм — гиря, пружина и, наконец, 3) спусковой механизм, связывающий колебательное устройство с заводным механизмом. Эта связь заключается в следующем: при определенных положениях колебательной системы (в дальнейшем мы будем для краткости говорить о маятнике) приходит в действие спусковой механизм, сообщающий маятнику за счет энергии заводного механизма некоторый импульс. Длительность этого импульса в различных часах бывает различна, но в хороших часовых механизмах импульс бывает весьма кратковременным. Действует спусковой механизм обычно два раза за период и притом вблизи положения равновесия колебательной системы, т. е. в той области, где скорость системы наибольшая. Таково в общих чертах устройство всякого часоного механизма. Для нас в устройстве часов наиболее существенно то, что момент, когда начинает действовать спусковой механизм, целиком определяется положением колебательной системы (например, спусковой механизм приходит в действие каждый раз, когда маятник проходит через положение равновесия). Кроме того, характер воздействия и величина импульса также зависят от состояния маятника. Следовательно, всякие силы, которые могут возникнуть в механизме,

зависят только от положений и скоростей отдельных частей системы, но не зависят явно от времени. Таким образом, часы — это автономная система.

Для теоретического рассмотрения работы часовых механизмов мы должны, как и во всех других случаях, сделать некоторые упрощающие предположения об устройстве часового механизма, которые, делая такое рассмотрение возможным, отображали бы в то же время основные свойства часового механизма. Простейшими теоретическими моделями часов являются модели с ударами, в которых используется представление о воздействии со стороны спускового механизма на колебательную систему часов в виде мгновенных ударов. Такие «ударные» модели часов мы и будем рассматривать в настоящем параграфе. Именно, мы будем предполагать, что колебательная система (балансир, маятник) в момент прохождения системы через положение равновесия испытывает со стороны спускового механизма мгновенные удары, приводящие к мгновенным увеличениям скорости колебательной системы. Что касается закона изменения скорости при ударе, то тут уместны два наиболее простых предположения. Во-первых, можно предположить, что при ударе скорость системы всегда увеличивается на одну и ту же величину, независимо от скорости системы до удара. Пусть, например, скорость до удара и после удара Тогда наше предположение сводится к тому, что или что той наше предположение сводится таким образом к предположению о постоянстве количества движения, сообщаемого спусковым механизмом колебательной системе. Другое простое предположение сводится к тому, что кинетическая энергия системы при ударе изменяется на одну и ту же величину независимо от скорости системы до удара. Это предположение сводится к тому, что Наши предположения, конечно, не исчерпывают всех возможных типов удара и являются лишь простейшими допущениями. Однако, присматриваясь к устройству часового механизма, можно подметить некоторые обстоятельства, говорящие в пользу второго допущения. Именно, в случае гиревого заводного механизма гиря при каждом ударе часов опускается на одно и то же расстояние, т. е. совершает одну и ту же работу. Поэтому вполне естественно второе предположение, что колебательная система получает одно и то же количество энергии В случае же первого предположения, поскольку энергия, сообщаемая механизму, существенно зависит от скорости системы, мы должны были бы сделать довольно искусственное допущение, что потери энергии в спусковом механизме изменяются в широких пределах, причем чем меньше скорость системы, тем больше потери энергии в спусковом механизме (так как чем меньше скорость системы до толчка, тем меньшую энергию она получает при

толчке в случае первого предположения). Но все же первое предположение хотя и кажется в силу этих соображений менее естественным, отнюдь не является невозможным, поэтому мы рассмотрим оба эти предположения, причем, как мы убедимся, они приводят в некоторых случаях к существенно различным результатам.

Помимо предположения о характере удара надо сделать известные предположения о характере силы трения в часовом механизме. Здесь мы также ограничимся двумя простейшими предположениями, которые мы уже применяли в других случаях. Во-первых, мы предположим, что величина силы трения пропорциональна скорости («линейное трение») и, во-вторых, что величина силы трения не зависит от скорости («постоянное трение»). Эти предположения также приведут нас к существенно различным результатам.