2. Изображение затухающего осцилляторного процесса на фазовой плоскости.

Перейдем теперь к исследованию фазовой плоскости рассматриваемой системы, к построению ее «портрета», отображающего всю совокупность возможных движений.

Зная решение дифференциального уравнения (1.16), можно найти уравнение семейства фазовых траекторий. Согласно (1.22) параметрические уравнения траекторий на фазовой плоскости х, у имеют вид

Покажем, что это — семейство спиралей, имеющих асимптотическую точку в начале координат.

Для этой цели воспользуемся линейным преобразованием координат — приемом, к которому мы и в дальнейшем будем неоднократно прибегать. Именно, перейдем от переменных х, у к переменным

которые мы будем интерпретировать как декартовы координаты на другой плоскости (так называемая «активная» интерпретация преобразования координат. Очевидно, если обозначить то

Еще более простой вид уравнения фазовых траекторий на плоскости получают в полярных координатах

или, исключив время,

(здесь — новая произвольная постоянная).

Таким образом, на плоскости фазовыми траекториями будет семейство логарифмических спиралей с асимптотической точкой в начале координат (рис. 20).

Рис. 20.

При этом, поскольку убывает со временем, а при изображающая точка, двигаясь по спиралям на плоскости асимптотически приближается к началу координат.

Перейдем обратно на плоскость х, у. Из (1.28), заметив, что

получаем координатное уравнение (с исключенным временем) фазовых траекторий:

Так как деформация фазовых траекторий при обратном преобразовании (от к х, у) не может изменить их качественного характера, то мы можем утверждать, что семейство фазовых траекторий (1.29) на плоскости х, у также является семейством спиралей с асимптотической точкой в начале координат.

Относительно характера этих спиралей можно заметить следующее. При малых т. е. малых логарифмических декрементах затухания, логарифмическая спираль (1.28) в течение каждого оборота близка к соответствующему кругу Этот круг при линейном преобразовании (1.27) превращается в эллипс

Рис. 21.

Рис. 22.

Отсюда мы можем заключить, что при малых исследуемая нами спираль (1.29) близка на протяжении каждого оборота к эллипсу (с соответствующим образом выбранным значением константы)

На рис. 21 изображено семейство исследуемых нами спиралей — фазовых траекторий на плоскости х, у. Изображающая точка, двигаясь по любой спирали, будет асимптотически (при приближаться к началу координат, являющемуся состоянием равновесия. Радиус-вектор изображающей точки будет уменьшаться (по длине) каждый оборот.

Подсчитаем величину этого уменьшения при полуобороте, обороте и т. д. Для этой цели проведем на плоскости х, у произвольную

прямую, проходящую через начало координат, и обозначим через расстояния до начала координат точек пересечения некоторой спирали (1.29) с проведенной прямой (рис. 22). При преобразовании (1.27) проведенная прямая вместе с точками пересечения преобразуется также в прямую, проходящую через начало координат, причем, как мы указывали выше,

где через обозначены расстояния на плоскости преобразованных точек пересечения до начала координат.

Отсюда следует, что каждому полуобороту радиуса-вектора изображающей точки, двигающейся на плоскости х, у по спирали (1.29), соответствует также полуоборот радиуса-вектора на плоскости (с уменьшением угла на за интервал времени, равный Согласно (1.28), очевидно имеем:

Так как расстояния пропорциональны друг другу, то, очевидно, длина радиуса-вектора изображающей точки на плоскости х,у после полуоборота равна

после полного оборота

и после оборотов

Мы видим, что уменьшение радиуса-вектора происходит по ранее найденному показательному закону с логарифмическим декрементом затухания

Мы выяснили, таким образом, характер фазовых траекторий. Можно показать, что через каждую точку фазовой плоскости проходит одна и только одна спираль, соответствующая определенному значению константы С или, иначе говоря, соответствующая определенным начальным условиям. Вся плоскость заполнена спиралями, вложенными друг в друга, по которым изображающая точка асимптотически (при приближается к началу координат. Исключение составляет лишь состояние равновесия — точка которую следует рассматривать как отдельную фазовую

траекторию. При движении изображающей точки по спирали фазовая скорость никогда не обращается в нуль, постепенно убывая с каждым оборотом, так что время каждого оборота остается неизменным и равным Фазовая скорость всегда равна нулю для «движения», отображаемого траекторией