1. Движение тяжелой точки по окружности, вращающейся вокруг вертикальной оси.

Рассмотрим движение тяжелой точки массы по окружности радиуса а, когда эта окружность вращается вокруг своего вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью 2 (рис. 74). Примером такой консервативной системы может служить маятник, колеблющийся на вращающейся платформе.

Рис. 74.

Положение точки (массы будем определять углом в системе координат, связанной с вращающейся окружностью. Для написания уравнения движения тяжелой точки в такой вращающейся, неинерциальной системе координат в виде второго закона Ньютона необходимо, как известно, ввести силы инерции, в данном случае центробежную силу. Момент силы тяжести относительно центра окружности равен ; центробежная· сила равна а ее момент Поэтому, пренебрегая

силами трения, получим следующее уравнение движения рассматриваемой системы:

где момент инерции тяжелой точки (относительно центра окружности). Если ввести безразмерный параметр

и новое, безразмерное время

(ниже дифференцирование по новому времени обозначается точкой сверху), то уравнение (2.27) приведется к виду, содержащему один параметр:

Для того чтобы на примере консервативной системы (2.28) проиллюстрировать качественное изменение характера сепаратрис при изменении параметра и без изменения числа особых точек, мы будем считать что параметр может принимать любое значение несмотря на то, что для рассматриваемой физической системы а значения не имеют физического смысла.

Поскольку положение тяжелой точки однозначно определяется углом фазовой поверхностью рассматриваемой системы опять будет цилиндр (мы будем изображать фазовые траектории на развертке этого цилиндра). Уравнение интегральных кривых получим, разделив одно из уравнений (2.28) на другое:

Интеграл энергии запишется так:

(из (2.30) сразу видно, что интегральные кривые симметричны относительно осей и

Положения равновесия определяются уравнением

Очевидно, система имеет положения равновесия

существующие при любом Кроме того, при существуют еще два положения равновесия где На рис. 75 изображена бифуркационная диаграмма для положений равновесия (штриховка и обозначения на ней имеют тот же смысл, что и в предыдущем примере). Таким образом, при система имеет две особые точки: центр и седло при четыре особые точки: центры и седла наконец, при снова две особые точки: центр и седло

Рис. 75.

Рис. 76.

Для определения сепаратрис воспользуемся тем обстоятельством, что каждая сепаратриса проходит через соответствующую особую точку типа седла, в которой константа интеграла энергии легко может быть вычислена. Уравнение одной из них, проходящей через седло

точка является седлом при имеет вид

Уравнением второй, проходящей через точку которая является седлом при будет:

Рис. 77.

Рис. 78.

Рис. 79.

Обе эти сепаратрисы, имеющие вид «восьмерок», изображены на рис. 76 для случая При обе сепаратрисы сливаются, и получается картина, изображенная на рис. 77. При получается та же картина, что и при но сдвинутая на вдоль оси 9 (рис. 78). В случае (рис. 76) внутри наружной сепаратрисы (сепаратрисы А) имеются три области периодических движений, две односвязные (замкнутые фазовые траектории охватывают один из центров) и одна двухсвязная (замкнутые фазовые траектории охватывают оба центра и седло с сепаратрисой В). Фазовые траектории, расположенные вне наружной сепаратрисы, всегда замкнутые и охватывают цилиндр (это имеет место при любых X); они соответствуют, очевидно, периодическим движениям тяжелой точки с обеганием всей окружности. Так как при сепаратрисы сливаются, то при этом значении X двухсвязной области, о которой только что шла речь, не существует. Качественная топологическая картина интегральных кривых меняется, и следовательно, является бифуркационным значением. Точно

так же при получается новая картина интегральных кривых (рис. 79 и 80), следовательно, значения являются также бифуркационными значениями параметра

Рис. 80.