5. Возможные типы полутраекторий и их предельных множеств.

Доказанные теоремы позволяют установить возможный характер множества предельных точек полутраектории, целиком лежащей в ограниченной части плоскости. Именно, это множество может быть одного из следующих типов: Одно состояние равновесия. II. Одна замкнутая траектория. III. Совокупность состояний равновесия и траекторий, стремящихся к этим состояниям равновесия как при так и при

Нетрудно видеть, что состояния равновесия, входящие в множество предельных точек типа III, не могут быть фокусами или узлами, так как всякая траектория, попавшая в достаточно малую окрестность такого состояния равновесия, стремится к нему и не может иметь никакой другой предельной точки. Следовательно, состояния равновесия, которые могут входить в множество предельных точек типа III, в случае, если эти состояния равновесия простые, непременно являются седлами, а отличные от состояний равновесия траектории, входящие в это множество, — сепаратрисами седел. Зная возможные типы предельных множеств, мы можем сразу сказать, какие типы полутраекторий возможны. Очевидно, мы получаем следующие

возможные типы полутраекторий: 1) состояние равновесия; 2) замкнутая полутраектория; 3) полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия; 4) полутраектория, стремящаяся к замкнутой траектории; 5) полутраектория, стремящаяся к предельному множеству типа III.

Полутраектории всех перечисленных типов, за исключением последнего, встречались в рассмотренных выше примерах неоднократно.

Рис. 293.

Рис. 294.

Простейший пример полутраектории последнего типа изображен на рис. 293, где полутраектория стремится к предельному множеству, состоящему из сепаратрисы, выходящей из седла и возвращающейся в то же седло. Более сложный случай изображен на рис. 294, где полутраектория (внешняя) стремится к предельному множеству, состоящему из двух состояний равновесия и четырех сепаратрис, стремящихся к этим состояниям равновесия как при так и при