5. Изображение апериодического процесса на фазовой плоскости.

Перейдем теперь к исследованию фазовых траекторий на фазовой плоскости Уравнения (1.39) являются параметрическими уравнениями фазовых траекторий в рассматриваемом случае. Исключая из них время нетрудно получить координатное уравнение интегральных кривых:

Чтобы исследовать это семейство кривых, опять воспользуемся линейным преобразованием координат:

После этого преобразования уравнение (1.45) примет в новых переменных простой вид:

Толкуя как прямоугольные координаты, мы можем сказать, что после преобразования получили семейство «парабол», причем, поскольку : 1) все интегральные кривые, за исключением кривой, соответствующей касаются в начале координат оси и, так как — следовательно, ; 2) интегральные кривые при вырождаются в прямые: при имеем т. е. ось и; при имеем т. е. ось ; 3) интегральные кривые обращены выпуклостью к оси и, ординаты их монотонно возрастают по абсолютной величине при увеличении Семейство таких парабол изображено на рис. 27.

Рис. 27.

Перейдем теперь обратно на плоскость х, у. Оси на плоскости соответствует прямая на плоскости оси и — прямая Остальные интегральные кривые или, точнее, остальные кривые семейства (1.45) на плоскости х, у представляют собой деформированные параболы, касающиеся прямой («бывшей» оси и). Для того чтобы изобразить это семейство кривых, нужно учесть еще следующие обстоятельства: 1) кривые семейства имеют горизонтальные касательные в точках пересечения с прямой кривые семейства имеют вертикальные касательные в точках пересечения с осью наклон кривых, пересекающих ось х, монотонно увеличивается на участке от состояния равновесия до оси х и меняется от до кривые семейства имеют параболические бесконечные ветви с осями, параллельными прямой (при уходе в бесконечность наклон кривых Это семейство кривых изображено на рис. 28.

Подобно предыдущему случаю мы можем и в этом случае прийти к полученным результатам, не интегрируя дифференциального уравнения (1.16), а заменяя это уравнение второго порядка двумя эквивалентными уравнениями первого порядка и исключая из них время. Мы получим то же уравнение интегральных кривых, как и в предыдущем случае:

Единственная особая точка этого семейства кривых есть точка соответствующая состоянию равновесия системы.

Рис. 28.

Изоклины и в этом случае будут прямыми, определенными уравнениями (1.35). Но так как в рассматриваемом случае то расположение изоклин будет несколько иным (рис. 29). В рассматриваемом случае имеются две прямолинейные интегральные кривые, проходящие через начало координат. Для их отыскания подставим

уравнение прямой в уравнение интегральных кривых (1.34). Тогда для углового коэффициента прямоугольной интегральной кривой получим уравнение совпадающее с характеристическим (1.18). В нашем случае оно имеет действительные корни: интегральными кривыми будут прямые

Это сразу исключает существование спиральных фазовых траекторий, охватывающих начало координат, и, следовательно, существование осцилляторно затухающих движений в системе.

Рис. 29.

Точно так же при интегрировании уравнения (1.34) подстановкой мы получим (вследствие того, что результат, отличный от предыдущего случая, именно уравнение семейства интегральных кривых «параболического типа»:

или

где то же уравнение, которое было нами выше получено иным путем (исключением из решений исходного дифференциального уравнения).

Направление движения представляющей точки определяется с помощью тех же соображений, что и в предыдущих случаях, именно из условия, что при значение х должно возрастать. Так как тангенс угла касательной к интегральной кривой с осью х изменяет знак только один раз при пересечении с осью х, то сразу видно, что представляющая точка будет двигаться по интегральным кривым в направлениях, указанных на рис. 28 стрелками, т. е.

всегда будет приближаться к началу координат. Скорость движения представляющей точки, как и в предыдущих случаях, обращается в нуль только там, где одновременно в особой точке рассматриваемого дифференциального уравнения.

Как мы уже говорили, мы будем делать различие между интегральными кривыми и фазовыми траекториями, так как одной интегральной кривой может соответствовать несколько существенно различных движений или, иначе говоря, несколько различных фазовых траекторий. Например, в рассматриваемом случае, задавая определенное значение константы С, мы еще не фиксируем единственную траекторию, так как в нашем случае каждая интегральная кривая проходит через особую точку и, следовательно, состоит из трех фазовых траекторий (две из них соответствуют движениям, асимптотическим к состоянию равновесия, третьей является само состояние равновесия). В нашем случае все интегральные кривые проходят через особую точку. Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые, подобно тому, как семейство парабол проходит через начало координат, носит название узла. Нетрудно видеть, что состояние равновесия, соответствующее в нашем случае особой точке — узлу, является устойчивым по Ляпунову, так как изображающая точка по всем интегральным кривым движется по направлению к началу координат. Устойчивое состояние равновесия, которое соответствует особой точке типа узла, мы в дальнейшем будем называть устойчивым узлом. Как мы убедимся в дальнейшем, узел может быть и неустойчивым, для чего достаточно, чтобы было отрицательно. Как и в случае фокуса, физический смысл этого обстоятельства заключается в том, что если состояние равновесия в системе без трения с одной степенью свободы устойчиво, то прибавление положительного трения, т. е. трения, на преодоление которого должна затрачиваться работа, не может нарушить устойчивости (даже более того — положительное трение сообщает положению равновесия абсолютную устойчивость).

Рассмотрим несколько подробнее физические черты трех типов апериодических движений, изображенных на рис. 26. Прежде всего, если начальная скорость и начальное отклонение одного знака (т. е. если представляющая точка лежит в области на рис. 25), то система сначала будет удаляться от положения равновесия, причем скорость ее будет постепенно убывать (начальная кинетическая энергия расходуется на увеличение потенциальной энергии и на преодоление трения). Когда скорость падает до нуля (точка система начнет двигаться назад к положению равновесия, причем сначала скорость будет возрастать, так как восстанавливающая сила больше силы трения. Но при движении сила трения возрастает (так как скорость возрастает), а восстанавливающая сила убывает (так как система приближается к положению равновесия), и, следовательно, начиная с какого-то момента (точка на рис. 26, I), скорость,

достигшая к этому моменту максимума, начнет снова убывать. Система будет асимптотически приближаться к положению равновесия.

Другой случай, когда начальная скорость и начальное отклонение разных знаков, т. е. начальный толчок направлен в сторону, противоположную начальному отклонению, приводит к двум различным типам движений (II и III). Если начальный толчок мал по сравнению с начальным отклонением, то система вследствие наличия большого трения не может перейти через положение равновесия и будет асимптотически приближаться к положению равновесия (кривая II). Если же начальная скорость достаточно велика, то система в некоторый момент пройдет через положение равновесия (кривая III) и после этого еще будет обладать некоторой скоростью, направленной от положения равновесия, т. е. в ту же сторону, в которую отклонена система. При этом получается уже рассмотренное движение типа система достигает некоторого наибольшего отклонения и затем асимптотически приближается к положению равновесия. Таким образом, движение типа III только в первой своей части точки отличается от движения типа После же точки движение III аналогично движению типа С другой стороны, движение типа I после точки аналогично движению типа II. И действительно, движение представляющей точки по некоторым фазовым кривым, проходящим через все три области I, 11 и III (например, по кривой, отмеченной буквой А на рис. 28), будет принадлежать либо к III, либо к I, либо к типу II в зависимости от того, в какой области будет лежать представляющая точка в начальный момент.

Предельный случай (когда мы не будем рассматривать подробно, а ограничимся лишь краткими указаниями, ибо этот случай (как, впрочем, и всякий случай, когда соотношение между параметрами системы точно фиксировано) не может быть точно реализован в физической системе и имеет значение только как граница между двумя различными типами затухающих процессов — осцилляторным и апериодическим. В случае как известно, решение исходного дифференциального уравнения (1.16) нужно искать в виде:

Можно и в этом случае не искать решение дифференциального уравнения второго порядка, а перейти к уравнению первого порядка, определяющему фазовые кривые (1.34). Мы и в этом случае получим семейство интегральных кривых параболического типа и устойчивую особую точку типа узла, так что с точки зрения поведения интегральных кривых и типа особой точки этот граничный случай следует отнести к случаю а не к случаю Случай не имея физического значения, все же представляет известный расчетный интерес, так как часто бывает выгодно так подобрать

затухание системы, чтобы было возможно ближе к Этим, с одной стороны, устраняются колебания в системе, которые неизбежны при много меньшем, чем а с другой стороны, скорость апериодического возвращения системы к нулю получается наибольшая (больше, чем при больших величинах Такие именно условия являются наивыгоднейшими для ряда измерительных приборов, например, для гальванометров. Но при сколь угодно малом изменении параметров системы этот предельный случай превратится в один из двух других, рассмотренных ранее. Поэтому он не представляет физического интереса и не отражает характерных черт реальной физической системы. Предельный случай имеет значение только как граница, формально разделяющая системы на колебательные и апериодические. Необходимо, однако, иметь в виду, что разделение систем на колебательные и апериодические, которое в случае линейной системы хотя и может быть математически проведено вполне строго, в сущности говоря, не имеет большого физического содержания, ибо при больших значениях система теряет свои наиболее характерные «колебательные черты» еще до того, как достигает величины Действительно, если лишь немного меньше то затухание системы весьма велико, и уже второй максимум, следующий за начальным отклонением, может быть практически совершенно не заметен. Точно так же становится незаметным и явление резонанса — одно из наиболее характерных явлений в неавтономных колебательных системах.

Таким образом, хотя формально случай и является граничным, но фактически граница между колебательным и апериодическим процессами размыта и не может быть проведена резко. Заметим, кстати, что для некоторых нелинейных систем (например, систем с «постоянным», «кулоновским» трением, или с «квадратичным» трением), как мы увидим, разделение на колебательные и периодические теряет смысл.