§ 5. Метод Пуанкаре

Мы рассмотрим здесь метод интегрирования нелинейных уравнений, данный Пуанкаре в его работах по небесной механике [184, 185]. Этот метод, несмотря на существенные ограничения, накладываемые и на выбор уравнения и на поставленные задачи, все же охватывает очень многие важные случаи и дает ответ на ряд существенных для практики вопросов.

Мы будем предполагать, что наше нелинейное уравнение (или система уравнений) зависит от некоторого параметра и при определенном значении (например, при обращается в уравнение или систему уравнений, решение которых нам хорошо известно, например, в линейное уравнение или систему линейных уравнений.

Мы изучим нелинейное уравнение для значений мало отличающихся от Далее мы будем рассматривать только периодические решения нелинейного уравнения (это ограничение также лежит в существе метода). Для определенности мы предположим, что наша система при обращается в линейную с постоянными коэффициентами. Ход рассуждений является, однако, вполне общим, применимым и при других предположениях.

Итак, мы будем рассматривать систему нелинейных уравнений:

где константы; считаем, что достаточно мало. Далее будем считать, что и являются голоморфными функциями т. е. что их можно разложить в сходящиеся

степенные ряды по крайней мере при малых значениях переменных).

Рассматривая нелинейные члены как результат малого искажения линейной системы (получающейся при мы поставим своей задачей изучить, для каких исходных периодических решений линейной системы существуют периодические же (хотя бы и с другим периодом) решения нелинейной системы, обращающиеся в исходные при и при каких условиях (т. е. при каких эти периодические решения нелинейной системы будут устойчивыми.

Рассмотрим сначала случай Уравнения переходят в

Исключение у приводит к уравнению

Необходимая предпосылка дальнейших рассмотрений состоит в том, что полученная линейная система (9.53) или уравнение (9.53а) должна сама иметь периодические решения.

Это значит, что характеристическое уравнение

должно иметь чисто мнимые корни, т. е. должно быть

Тогда

или, если ввести обозначение то можно сказать, что решение уравнения (9.53а) имеет вполне определенную частоту определяемую самим уравнением. Фаза же и амплитуда периодического решения не задаются системой и определяются начальными условиями. Произвольность фазы очевидна: время не входит явно в (9.53а), и поэтому начинать отсчет можно с любого момента (но разность фаз между х и у и отношение амплитуд х и у вполне определены системой: достаточно подставить значение для х во второе из уравнений (9.53)).

Итак, мы убедились, что если выполнены условия (9.54), то наша система (9.53) имеет бесчисленное множество периодических решений, отличающихся одно от другого амплитудой и фазой. Эти решения имеют вид:

где определяются через коэффициенты уравнений (9.53), а произвольны. В общем виде

где периодические функции с периодом и — произвольные постоянные. Такой общий вид будут иметь решения, если при наша система становится нелинейной, но консервативной, соответствующей случаю центра.

Так как отсчет времени можно начинать с произвольного момента, то без всякого ограничения общности можно считать и тогда решение нашей линейной системы может быть написано в виде: