1. Часы в случае линейного трения.

Мы начнем рассмотрение со случая «линейного трения» и удара с постоянным количеством движения, причем будем предполагать сначала, что спусковой механизм действует только один раз за период (удар, например, наносится при прохождении положения равновесия слева направо). Этот случай может быть исследован методом, аналогичным примененному для рассмотрения лампввого генератора с -характеристикой. Действительно, если логарифмический декремент затухания системы (затухание мы считаем малым), а приращение скорости, которое получает система при ударе, а, то при начальной скорости (мы считаем начальным момент, непосредственно следующий за ударом) скорость через период будет:

Для того чтобы процесс был периодическим, нужно, чтобы , где у — стационарная амплитуда. Следовательно,

Нестационарная амплитуда имеет всегда конечную величину, и а оказывается по сравнению с этой амплитудой тем меньше, чем меньше Рассуждениями, аналогичными тем, которые были приведены для лампового генератора, можно показать, что эта стационарная амплитуда устойчива и что при малом колебания будут нарастать.

В этом можно убедиться и непосредственно из выражения (3.28), связывающего две последующие амплитуды; действительно, при сколь угодно малом у, последующая амплитуда непременно будет больше

Следовательно, рассматриваемая нами модель часов обладает свойством самовозбуждения: колебания в ней нарастают при сколь угодно малых начальных отклонениях. Картина на фазовой плоскости для этого случая изображена на рис. 129. Фазовая плоскость заполнена кусками спиралей, начинающихся и кончающихся на верхней полуоси у. Дойдя по спирали до верхней полуоси у, представляющая точка делает скачок каждый раз на одну и ту же величину а кверху по оси у и снова продолжает движение по соответствующей спирали. Из соображений непрерывности ясно, что благодаря скачку путь представляющей точки по одной из спиралей окажется замкнутым, что и соответствует периодическому движению.

Рис. 129.

Таким образом, при сделанных предположениях мы получаем нужные свойства часового механизма в смысле наличия периодического процесса с амплитудой, независящей от начальных условий. Но наш идеализированный механизм обладает способностью самовозбуждения; при сколь угодно малом начальном толчке в конце концов часы будут совершать незатухающие колебания. Между тем в реальных часах всегда нужен некоторый начальный толчок конечной величины, для того чтобы часы пошли. Значит, наши предположения не дают возможности объяснить одно из наиболее типичных свойств часового механизма. К тому же результату мы придем, сохраняя предположение о линейном трении и переходя к другому закону удара, именно, полагая, что

В таком случае скорость будет:

Стационарная амплитуда у определяется из условия

И в этом случае также, как легко видеть, будет иметь место самовозбуждение.

Картина на фазовой плоскости изменится по сравнению с картиной для предыдущего случая только в том смысле, что скачки а вдоль оси у будут уже не постоянны по величине, а будут функцией (т. е. скорости, которая предшествует удару):

Значит, при возрастании предшествующей скорости скачки скорости будут убывать. Так как шаг спирали, т. е. разница между двумя последовательными значениями у, соответствующими значению наоборот, возрастает при возрастании у, то опять-таки из соображений непрерывности ясно, что должна существовать такая спираль, движение которой будет замкнутым.

Аналогичное рассмотрение можно провести и для того случая, когда спусковой механизм наносит удары колебательной системе дважды за период, т. е. при каждом прохождении системы через положение равновесия. При этом, конечно, каждый раз наносятся подталкивающие удары — удары в направлении движения. Картина на фазовой плоскости для этого случая изображена на рис. 130. Фазовые траектории состоят из «полувитков» спиралей затухающего осциллятора и имеют разрывы на оси у, соответствующие мгновенным ударам, наносимым колебательной системе часов со стороны спускового механизма.

Рис. 130.

Обозначим через величины (абсолютные значения) скоростей, которыми обладает колебательная система часов непосредственно после ударов. Очевидно, скорость после каждого удара однозначно определяется скоростью системы после предыдущего удара (рис. 130). Для двух примененных ранее предположений о законе удара мы получим следующие функции последования — функции, связывающие между собой и

если при ударе колебательной системе передается определенное (всегда одно и то же) количество движения, т. е. при ударе

если при каждом ударе кинетическая энергия системы увеличивается на одну и ту же величину:

В обоих случаях соответствующие точечные преобразования имеют единственную неподвижную точку

при первом предположении относительно закона удара и

при втором, т. е. в обоих случаях система имеет единственное периодическое движение, которое, как нетрудно показать построением графиков функции последования, устойчиво и устанавливается при любых начальных условиях. Графики функций последования (диаграммы Ламерея) имеют вид, аналогичный рис. 124; во втором случае этот график следует строить не для а для

Все рассмотренные нами модели часов с линейным трением объясняют наличие периодического процесса с определенной и не зависящей от начальных условий амплитудой автоколебаний, но все они дают мягкий режим, т. е. не объясняют необходимости начального толчка конечной величины для установления колебаний маятника или балансира часов.

Чтобы объяснить это свойство часов, нужно, как мы увидим ниже, отказаться от предположения о линейном трении и принять, что часы представляют собой автоколебательную систему с сухим трением.