7. Типы ячеек, возможных в грубых системах.

Выясним, какие могут быть топологические структуры разбиения на траектории отдельных ячеек в грубых системах. При этом мы будем отдельные ячейки всегда рассматривать вместе с границами. Кроме того, среди ячеек, имеющих одинаковую топологическую структуру, мы будем все же различать два типа; именно, мы будем считать ячейки принадлежащими к одному и тому же типу лишь в случае, если между ними существует топологическое отображение (переводящее траектории в траектории), сохраняющее направление вращения.

Можно показать, что в грубых системах возможно лишь конечное число типов ячеек.

Не проводя полностью исследования возможных типов, разберем ряд простых случаев. Начнем классификацию внутренних ячеек, не примыкающих к циклу без соприкосновения; при этом мы не будем перечислять те ячейки, которые получаются из рассматриваемых путем замены на (при таком изменении времени меняются направления движения по «отделяющим» траекториям и устойчивость элементов притяжения и отталкивания).

Рис. 305.

Возьмем какую-нибудь ячейку. Здесь могут быть следующие два случая:

1) седло не входит в границу; 2) седло входит в границу. Рассмотрим первый случай. Если седло не входит в границу, то отсюда следует, что в границу непременно должен входить предельный цикл, так как плоскость не может разбиваться на ячейки состояниями равновесия, а особые траектории, из которых может состоять граница, суть сепаратрисы (и тогда непременно есть седло), предельные циклы и состояния равновесия. Если имеется предельный цикл, составляющий часть границы, то могут быть опять два случая:

I. Траектории рассматриваемой ячейки лежат вне (снаружи) цикла.

II. Траектории рассматриваемой ячейки лежат внутри цикла.

В первом случае (так как седла нет) должен быть еще один (внешний) предельный цикл. Так как очевидно, что в этом случае никакие другие дозволенные особые траектории не могут входить в границу, то, принимая во внимание направление вращения и

устойчивость, мы получим в этом случае четыре различных типа областей: случаи Во втором случае могут быть два варианта: либо опять внутри предельный цикл, — тогда мы опять возвращаемся к тем же типам, либо внутри фокус (или узел), — тогда имеем, учитывая направление вращения и устойчивость, два типа ячеек: и (рис. 305, случаи

Теперь вернемся ко второму основному случаю, когда седло входит в границу. Этот случай также придется разбитй на два класса:

предельный цикл не входит в границу;

предельный цикл входит в границу.

Рассмотрим первый класс когда предельных циклов нет, а в границу входит седло. Как известно, седло имеет четыре уса: два устойчивых и два неустойчивых. Предположим сначала (случай что в границу входят два уса одинаковой устойчивости, например два неустойчивых. Так как каждый из этих усов принадлежит границе области и не может (в силу грубости) идти в седло, то его асимптотическое поведение такое же, как у других траекторий, т. е. оба неустойчивых уса седла стремятся к устойчивому элементу, т. е. в нашем случае к устойчивому узлу (или фокусу). Мы получаем таким образом замкнутую кривую С, состоящую из седла, двух неустойчивых усов и устойчлаого фокуса (или узла). Рассматриваемая нами ячейка должна лежать или вся вне этой замкнутой кривой, или вся внутри нее. Пусть она лежит вся внутри. Посмотрим, что еще тогда может входить в границу. Очевидно, тот устойчивый ус седла, который лежит внутри кривой С, также входит в границу. Он идет от неустойчивого элемента — неустойчивого узла (или фокуса), который, как и следовало ожидать, непременно лежит внутри кривой С. Таким образом, в границу рассматриваемой ячейки непременно входят соответственно расположенные три уса седла и три состояния равновесия. Может ли быть еще что-либо, входящее в границу? Так как мы предположили, что предельный цикл не входит в границу, поскольку граница может содержать лишь один источник и один сток, то в границу могут входить лишь седла с усами. Докажем, что этого не может быть, что граница рассматриваемой связной ячейки исчерпывается перечисленными шестью особыми элементами. Будем доказывать от противного. Предположим, что где-то внутри кривой С у нас имеется седло, входящее в границу, Но раз седло входит в границу, то есть и усы, входящие в границу.

Легко видеть, что если один из усов входит в границу, то непременно один из смежных с ним усов также входит в границу. Таким образом, должны быть один устойчивый и один неустойчивый ус, которые входят в границу. Так как эти усы непременно стремятся к тем же устойчивому и неустойчивому элементам, то наша ячейка разбивается на две части так, что кривая С уже не может входить в границу ячейки. Мы пришли к противоречию. В рассматриваемом варианте никакие другие особые элементы в границу входить не могут.

Мы еще оставили без рассмотрения другой вариант, когда рассматриваемая ячейка целиком лежит вне кривой С, которая входит в его границу. Легко показать, рассуждая совершенно аналогично предыдущему, что этот случай также приведет нас к противоречию. Таким образом, случай осуществляется только одним топологическим типом элементарных ячеек (см. рис. 306, случай

Рис. 306.

Предположим теперь (случай что в границу входят два рядом стоящих уса разной устойчивости: один устойчивый и один неустойчивый, а остальные два уса не входят в границу рассматриваемой ячейки.

Рис. 307.

Так как усы не могут идти из седла в седло, то непременно устойчивый ус идет из неустойчивого узла (или фокуса), а неустойчивый ус идет в устойчивый узел (или фокус). Так как по предположению остальные усы рассматриваемого седла не входят в границу, то непременно в границу входит еще одно седло. Здесь, очевидно, возможны два случая поведения усов второго седла (рис. 307). Случай I быть не может, так как мы уже рассматривали тот вариант, когда два уса одинаковой устойчивости входят в границу ячейки, и показали, что тогда второе седло не входит в границу. Остается случай II. Здесь опять можно сделать два предположения: либо наша ячейка лежит целиком внутри замкнутой кривой С, образованной четырьмя усами и четырьмя состояниями равновесия, либо лежит целиком вне. Рассмотрим первое предположение: ячейка лежит целиком внутри кривой С. Покажем, что никакие другие особые траектории в границу рассматриваемой ячейки входить не могут. Действительно, единственные особые траектории, которые еще

(кликните для просмотра скана)

могут войти в границу, — это сепаратрисы и, следовательно, седла (предельные циклы не могут входить в границу по предположению; источник и сток уже имеются). Но если в границу войдет седло, то непременно войдут и два соседних уса. Эти усы обязательно пойдут в устойчивый и неустойчивый узлы (или фокусы) и разобьют нашу ячейку на две части таким образом, что кривая С уже не может целиком входить в границу ячейки.

Рис. 309. (см. скан)

Мы пришли к противоречию, и следовательно, требуемое доказано. Нетрудно также опровергнуть предположение, что наша ячейка лежит целиком вне кривой С. Таким образом, случай осуществляется опять только одним топологическим типом элементарных ячеек (см. рис. 306, случай

Мы не будем исследовать подробно возможные топологические типы для наиболее сложного случая когда в границу ячейки входят и предельные циклы и седла. Возможные здесь случаи приведены на рис. 308 и 309. Заметим, что для случаев в известном

(кликните для просмотра скана)

смысле противотипами служат случаи Именно, случаи получаются из случаев путем соответствующей замены одного или двух узлов другими элементами притяжения или отталкивания — предельными циклами; количество различных типов при этом сильно возрастает вследствие того, что один цикл может располагаться внутри или вне другого и ввиду необходимости различать на циклах направление вращения. Также без специального рассмотрения мы оставим случаи ячеек, примыкающих к циклу без прикосновения. Случаи, которые могут здесь осуществляться, изображены на рис. 310.

После рассмотрения различных типов элементарных ячеек в грубых системах возникает вопрос о «законах совместного существования» элементарных ячеек различных типов. Мы не будем здесь касаться этого еще не решенного полностью вопроса. Поясним только одно понятие, которое имеет к этому вопросу некоторое отношение. Именно, иногда бывает удобно пользоваться понятием области устойчивости в большом данного элемента притяжения; под такой областью устойчивости в большом понимается тогда совокупность всех элементарных ячеек, имеющих рассматриваемый особый элемент своим элементом притяжения. Этим замечанием мы заканчиваем рассмотрение грубых систем.