3. Машина, работающая на нагрузку, зависящую от скорости.

Рассмотрим динамику паровой машины в предположении, что ее нагрузка создается силами сухого и вязкого трения, т. е. что момент сил нагрузки

где максимальный момент трения покоя, а -коэффициент характеризующий возрастание момента сил нагрузки с увеличением скорости вращения вала На нагрузку такого характера работает, например, паровая машина парохода.

При такой нагрузке уравнения вращения главного вала машины (в переменных, введенных в п. 1 настоящего параграфа), очевидно запишутся в следующем виде:

где функции, определенные соотношениями (8.85а) и (8.84а),

причем «угол отсечки» пара снова считается постоянным.

Разбиение полосы фазового цилиндра системы на траектории уравнений (8.89) изображено на рис. 458; разбиение на траектории полосы цилиндра тождественно совпадает с разбиением полосы поскольку правая часть второго уравнения (8.89) является периодической функцией угла поворота вала машины с периодом, равным Как и раньше, на окружности фазового цилиндра имеются два «отрезка покоя»

и состоящие из устойчивых состояний равновесия; траектории на нижней половине фазового цилиндра или входят в «отрезки покоя» или же переходят на верхнюю половину цилиндра; кроме того, на фазовом цилиндре системы нет траекторий, переходящих с его верхней половины на нижнюю. Поэтому, как и в п. 1 настоящего параграфа, изучение динамики паровой машины, работающей, на нагрузку, возрастающую с увеличением скорости вращения вала машины (и, в частности, задача нахождения ее периодических движений), сводится к рассмотрению точечного преобразования полупрямой в полупрямую осуществляемого траекториями системы на верхней половине фазового цилиндра.

Рис. 458.

Для вычисления функции соответствия этого точечного преобразования рассмотрим траекторию L, проходящую через некоторую произвольную точку и полупрямой (рис. 458). Интегрируя уравнения (8.89) в области (I): получим уравнения этой траектории в области (I):

где

Эта траектория обязательно пересечет правую границу области полупрямую так как в области на дуге окружности Если обозначить время пробега изображающей точки по траектории L в области через то это время пробега и ординатах; точки пересечения траектории L с полупрямой V, очевидно, определятся следующей системой уравнений:

Разрешая полученные уравнения относительно мы получим (в параметрической форме) функцию соответствия для точечного преобразования полупрямой в полупрямую V, осуществляемого траекториями в области (I):

где

Точке полупрямой соответствуют значение параметра равное и определяемое уравнением

(очевидно, а), и последующая точка на полупрямой V с ординатой

(ясно, что Далее, поскольку

и

являются монотонно убывающими функциями параметра х, поэтому множеству значений координаты и от до соответствуют множества значений параметра от до и координат последующих точек от до Заметим также, что при в силу чего при (эти точки принадлежат прямолинейной траектории в области при при График функции соответствия (8.90) преобразования изображен на рис. 459.

После пересечения с полупрямой V фазовая траектория L переходит в область (II): где ее уравнениями будут:

кроме того, мы выбрали новое начало отсчета времени так, чтобы при Если траектория L пересекает полупрямую то ордината этой точки пересечения определится из следующей системы уравнений:

здесь где — время пробега изображающей точки по траектории L в области (II) от полупрямой V до полупрямой Разрешая эти уравнения относительно и мы получим (также в параметрической форме) функцию соответствия точечного преобразования полупрямой V в полупрямую осуществляемого траекториями в области (II):

где

Рис. 459.

Обозначим через значение соответствующее и и определяемое поэтому уравнением

этому значению параметра соответствует точка полупрямой V с ординатой

Очевидно, что только точки полупрямой V преобразуются траекториями в области (II) в точки полупрямой Точки полупрямой V с ординатами преобразуются в точки «отрезка покоя», так как траектории, выходящие из этих точек полупрямой V, входят в «отрезок покоя», не пересекая полупрямой

Дифференцируя (8.91), получим:

и

т. е. являются монотонно убывающими функциями параметра и, следовательно, множеству точек полупрямой преобразующихся траекториями в области (II) в точки полупрямой соответствует множество значений параметра преобразования Так как и , то и всех причем График функции соответствия (8.91) точечного преобразования приведен на рис. 460.

Интересующее нас «полное» точечное преобразование полупрямой в полупрямую является произведением найденных преобразований

Рис. 460.

Неподвижная точка этого преобразования соответствующая предельному циклу, охватывающему фазовый цилиндр (т. е. соответствующая автовращательному режиму работы паровой машины), очевидно, определяется следующей системой трансцендентных уравнений:

(ясно, что и Согласно (8.90в) и (8.91 в),

следовательно, неподвижная точка, если она существует, является устойчивой и единственной.

В зависимости от значений параметров системы возможны два качественно различных случая. Если параметры системы таковы, что то неподвижных точек преобразования не существует (рис. 461), все последовательности точек пересечения траекторий системы с полупрямыми конечны, причем последние точки этих последовательностей преобразуются в точки «отрезков покоя».

Рис. 461.

Рис. 462.

Следовательно, в этом случае все траектории системы входят в «отрезки покоя», т. е. паровая машина останавливается при любых начальных условиях.

Если же то точечное преобразование имеет единственную и устойчивую неподвижную точку, к которой сходятся все последовательности точек пересечения траекторий с полупрямыми Поэтому на фазовом цилиндре существует единственный и устойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр, и к этому предельному циклу асимптотически приближаются все траектории, пересекающие полупрямые

Рис. 463.

Так как, кроме того, имеются устойчивые состояния равновесия, составляющие «отрезки покоя» на фазовом цилиндре, то имеет место жесткое установление автовращательного режима работы паровой машины. Разбиение фазового цилиндра для этого случая изображено на рис. 463. Период установившегося автовращательного движения вала машины, очевидно, равен (в единицах безразмерного времени)

где корни системы уравнений (8.92), определяющей неподвижную точку преобразования

Таким образом, условие существования автовращательного режима работы паровой машины сводится к неравенству

или согласно (8.906) и (8.916)

Рассматриваемая нами динамическая модель паровой машины имеет три независимых параметра: которые характеризуют соответственно движущий момент паровой машины, «угол отсечки» пара

и коэффициент вязкого трения нагрузки и через которые выражаются введенные выше параметры и :

Сообразно с этим можно взять трехмерное пространство параметров (точнее, его часть и рассмотреть его разбиение на область существования автовращательного режима работы машины (с жестким установлением), в которой выполнено условие (8.93), и на область остановки машины при любых начальных условиях, в которой условие (8.93) уже не выполняется.

Рис. 464

Уравнения пограничной поверхности, разделяющей эти области, запишутся в виде:

и уравнений (8.90а) и (8.91а):

или в параметрической форме:

Уравнения (8.94) позволяют сравнительно просто построить сечения пограничной поверхности плоскостями Эта пограничная поверхность изображена на рис. 464. Так как при увеличении параметра (остальные параметры и А фиксированы) возрастают а и уменьшаются, то в области над пограничной поверхностью условие (8.93) будет выполнено, т. е. над пограничной поверхностью лежит область существования автовращательного режима работы паровой машины.