2. Метод Пуанкаре для систем, близких к линейным.

Теперь мы переходим к систематическому изложению метода Пуанкаре. Мы рассмотрим одно дифференциальное уравнение второго порядка специального вида, особенно интересное с точки зрения теории колебаний и ее практических применений, а именно, уравнение системы, близкой к гармоническому осциллятору:

где произвольный положительный параметр, который можно выбрать достаточно малым; функция, разлагаемая в ряд по степеням у и у. При уравнение (9.2) имеет решение:

Общим решением уравнения (9.2) при будет, конечно, но вследствие автономности рассматриваемой системы мы можем дать вполне определенное значение, в частности положить его равным нулю. Если мы затем найдем близкое к нему решение при то в этом решении можно затем снова положить фазу произвольной. Как сказано, не при всех значениях К будут существовать периодические решения уравнения (9.2), близкие к (9.58). Наша задача заключается в том, чтобы найти, при каких значениях К существуют такие периодические решения уравнения (9.2).

Поясним нашу задачу с точки зрения представлений на фазовой плоскости. Так как уравнение (9.2) не зависит явно от времени,

то фазовые траектории образуют систему непересекающихся кривых на плоскости у, у. При уравнение (9.2) имеет решение:

где К — произвольная амплитуда (фазу мы не выписали по известным уже соображениям, но также и она остается произвольной). Решения при если рассматривать эти решения на фазовой плоскости у, у, представляют собой семейство концентрических окружностей.

Решение (9.59) мы назовем порождающим решением. Для мы будем искать такие периодические решения, которые при стремились бы к порождающим решениям Мы увидим, что не для всех значений К такие периодические решения существуют. Наша задача будет заключаться в том, чтобы найти К тех порождающих решений в области которых возникают периодические решения уравнения (9.2) при а также определить изменение периода по сравнению с порождающим решением. Таким образом, с точки зрения фазовой плоскости у, у мы можем первую часть нашей задачи сформулировать так: при интегральные кривые представляют собой семейство окружностей; при окружности превращаются в спирали, и только некоторые из интегральных кривых остаются замкнутыми, т. е. превращаются в предельные циклы. Требуется определить значение К для тех окружностей, вблизи которых возникают предельные циклы.

Как мы уже упоминали, существует доказательство того, что решения уравнения (9.2) можно представить в виде степенных рядов, составленных по степеням и разностей начальных значений абсолютно и равномерно сходящихся для достаточно малых значений на любом заданном конечном промежутке времени Следовательно, можем написать:

где какие-то, пока неизвестные, функции времени. Для определения этих функций мы поступим следующим образом. Продифференцировав ряд (9.60) по времени сначала один раз, а затем мы получим выражения для также в виде рядов:

Так как мы рассматриваем значения , близкие соответственно к значениям то функцию мы можем разложить в ряд Тейлора вблизи значений Применяя

для аргументов опять выражения в виде рядов (9.60) и (9.61), мы получим ряд Тейлора для функции в таком виде:

Подставляя выражения для в исходное уравнение (9.2) и приравнивая нулю сумму коэффициентов при членах, подобных относительно и мы получим систему неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и с периодической правой частью. Число этих уравнений зависит от того, до какого порядка малости мы будем вести разложение рядов. Если при разложении и подстановке ограничимся только членами не выше второго порядка малости, то мы получим шесть уравнений, определяющих шесть функций

Кроме уравнений (9.64) мы еще должны знать начальные условия, которым подчиняются функции Сопоставляя выражения

(9.65)

с выражениями для (9.60) и (9.61), мы можем найти значения при Мы получим:

Первые два из уравнений (9.64) при начальных условиях (9.66) имеют решения:

Чтобы найти остальные функции определяемые уравнениями (9.64) и начальными условиями (9.66), нужно знать в общем

виде решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям при Это решение, как известно, имеет вид:

Поэтому

Здесь и ниже выражения взятые в квадратные скобки, обозначают, что в эти выражения вместо и у подставлены соответственно

Так как нам понадобятся значения этих функций при

(см. скан)

В частности при имеем:

Наконец, если то

Заметим, что в последних формулах (9.68в) величинам можно дать простую интерпретацию: это — постоянные члены в разложении в ряд Фурье функции и соответственно помноженные на Величины же суть коэффициенты при разложения в ряд Фурье функции помноженные на Если функция есть многочлен, то эти величины можно вычислить непосредственно по тригонометрическим формулам (см. Дополнение III).

Перейдем теперь к отысканию периодических решений среди решений (9.60) уравнения (9.2) при Пусть период некоторого периодического решения равен где малая поправка на период (при ). Тогда, приравнивая соответственно и мы получим уравнения:

определяющие это периодическое решение. Это — два уравнения с тремя неизвестными и причем произвольные постоянные нашей задачи. Нас интересуют периодические решения, но если мы определим какое-нибудь одно периодическое решение, то их будет существовать бесконечное множество, отличающихся друг от друга на произвольную фазу. Поэтому, как уже указывалось, по существу задачи одно из должно остаться совершенно произвольным. Можно, например, не нарушая общности, одно из них положить равным нулю. Если при этом уравнения (9. 69) можно разрешить относительно и другого таким образом, что при то наша задача решена. Если этого не удается сделать, то в запасе остается еще один вариант, а именно, положить равным

нулю другое Мы сейчас убедимся, что в нашей задаче предположение приводит к положительным результатам. Если бы мы исходили из решения полагали, что в порождающем решении не нуль), то пришлось бы воспользоваться вторым вариантом, т. е. положить

Составим уравнения (9.69) сначала в общем виде, не полагая равным нулю. Для этого мы должны прежде всего составить выражения Поскольку мало по сравнению с мы можем разложить в ряды вблизи значения

Ограничиваясь членами первого и второго порядка малости, мы получим:

Значения мы можем определить, пользуясь их выражениями при помощи рядов (9.60) — (9.62), подставляя вместо функций их значения при т. е.

Отбрасывая члены более чем второго порядка малости (следует учесть, что порядок малости не ниже получим:

Подставляя в эти выражения значения и их производных при и составляя уравнения (9.69), получим:

Из этих двух уравнений можно определить как функции параметра поправку на период х и одно из двух (в нашем случае , если

другому приписано какое-либо определенное значение (например, 0). Подставим разложения этих величин в степенные ряды

в уравнения (9.70) и приравняем нулю суммы членов порядка :

Первое из этих уравнений

или по (9.12)

определяет радиусы тех окружностей, вблизи которых при малых имеются предельные циклы. Второе уравнение определяет поправку на период первого приближения:

или по (9.12)

Заметим, что приравнивание нулю эквивалентно приравниванию нулю коэффициента Фурье при в разложении функции

Приравнивая нулю суммы членов порядка в уравнениях (9.70), получим уравнения:

которые определят и поправку на период второго порядка если только

Рассмотрим более подробно интересный с точки зрения практических приложений случай:

когда и поправка на период является, вообще говоря, величиной порядка В этом частном случае уравнения (9.74) записываются в виде:

и дают

Подставляя найденные нами функции в выражение (9.60) для у и возвращаясь снова к произвольному началу отсчета времени (для чего достаточно заменить на мы сможем записать решение нашего уравнения (9.2) (с точностью до величин порядка в виде:

где К — корень уравнения (9.72).

Сделаем одно замечание по поводу полученного приближенного выражения (9.76) для решения (9.60). Первое приближение (9.76), так же как и нулевое приближение (9.59), имеет период в то время как решение (9.59) должно иметь период, несколько отличный от (и равный ). Последнее обеспечивается тем, что выражение (9.60) есть разложение по степеням такого ряда Фурье, у которого не только «амплитуда», но и период зависят от Действительно, рассмотрим ряд Фурье

и разложим его в ряд по степеням разложение это имеет вид:

Несмотря на то, что тригонометрические функции входят только с периодом есть периодическая функция с периодом, не равным если это изменение периода получается вследствие того, что в разложение входят вековые члены, т. е. члены, содержащие в нетригонометрическом виде. Подобным же образом и в решении (9.76), начиная со следующего приближения, начнут появляться вековые члены, которые не нарушат периодичности функции у, а лишь немного изменят ее период. Можно написать полученное периодическое решение и без вековых членов, если писать сразу все тригонометрические функции с правильными периодами, для чего нужно в аргументы всех тригонометрических функций ввести поправку на частоту. Вследствие малости ее можно считать равной поправке на период, деленной на и взятой с обратным знаком. После этого решение принимает вид:

Наконец, заметим, что в силу общей теории (см. гл. V, § 8) условие устойчивости рассматриваемого периодического решения имеет вид:

или, ограничиваясь первым членом разложения по :

Выражению, стоящему в правой части последнего неравенства,

нетрудно дать простую интерпретацию: это постоянный член (умноженный на в разложении в ряд Фурье функции

где соответствующий корень уравнения (9.72).