§ 9. Системы без замкнутых траекторий

Трудности, которые возникают при исследовании конкретных динамических систем, очень велики, и поэтому часто ввиду отсутствия регулярных и достаточно эффективных методов приходится обращаться к различным способам численного интегрирования. Однако есть случаи, когда на основании общей теории исследование сравнительно просто может быть доведено до конца. Один из таких случаев (практически, пожалуй, наиболее важный) — это тот, когда удается каким-либо способом показать, что на фазовой плоскости рассматриваемой системы нет замкнутых фазовых траекторий.

Можно указать ряд критериев для отсутствия замкнутых фазовых траекторий, каждый из которых дает некоторые достаточные условия. Хотя эти критерии отнюдь не дают какого-либо регулярного способа доказательства отсутствия замкнутых траекторий у системы, заданной уравнениями типа (5.1), тем не менее, как это будет видно из приведенных физических примеров, они представляют определенный практический интерес.

Предположим, что рассматриваемая система отображается уравнениями:

где мы опять будем предполагать аналитическими на всей фазовой плоскости.

Первый критерий, который мы рассмотрим, это так называемый критерий Бендиксона, являющийся достаточным условием отсутствия замкнутых контуров, целиком составленных из фазовых траекторий [137].

Критерий Бендиксона: если в некоторой односвязной области на фазовой плоскости выражение знакопостоянно, то в этой, области не существует замкнутых контуров, целиком составленных из фазовых траекторий динамической системы

Для доказательства воспользуемся теоремой Грина, согласно которой

Если интеграл по контуру берется по кривой, целиком состоящей из траекторий, то в силу уравнений (5.1) он равен нулю, а следовательно, и двукратный интеграл также равен нулю. Но в таком

случае выражение должно обязательно менять знак где-нибудь внутри взятого контура; таким образом наше утверждение доказано.

Известным обобщением критерия Бендиксона является критерий Дюлака [148, 108]: если существует такая непрерывная с непрерывными производными функция В (х,у), что в некоторой односвязной области на фазовой плоскости выражение знакопостоянно, то в этой области не существует замкнутых контуров, целиком составленных из фазовых траекторий. системы (5.1). Доказательство критерия полностью аналогично доказательству критерия Бендиксона, и поэтому приводить его мы не будем.

Перейдем теперь к критериям, связанным с гораздо более слабым требованием — с требованием отсутствия замкнутых фазовых траекторий, т. е., иначе говоря, к критериям отсутствия периодических решений системы (5.1).

Можно было бы дать на основании изложенной в § 8 теории индексов ряд критериев; мы приведем только некоторые из них, практически наиболее существенные. Впоследствии мы познакомимся еще с некоторыми критериями, основанными на свойствах так называемой «кривой контактов».

1. Если в системе не существует особых точек, то у нее не может быть и замкнутых фазовых траекторий.

2. Если в системе существует только одна особая точка, причем индекс ее не равен (например, седло), то в этой системе не может быть замкнутых фазовых траекторий.

3. Если система обладает несколькими особыми точками, сумма индексов любой комбинации которых не равна то такая система не допускает замкнутых фазовых траекторий.

4. Если система допускает, например, только простые особые точки, причем через все точки с индексами проходят интегральные кривые, уходящие в бесконечность, то такая система не допускает замкнутых фазовых траекторий.

Для иллюстрации сказанного выше мы рассмотрим несколько физических систем, которые отображаются динамическими моделями без замкнутых фазовых траекторий.

1. Симметричное ламповое реле (триггер). В качестве первого примера мы рассмотрим работу симметричного лампового реле или

триггера, схема которого приведена на рис. 254 (емкости изображают малые, паразитные емкости схемы). Эта схема при определенных условиях имеет два устойчивых состояния равновесия и может быть переброшена из одного состояния равновесия в другое подачей соответствующего импульса напряжения в подходящий узел схемы.

Рис. 255.

Она находит себе довольно широкое применение в ряде радиотехнических устройств (например, в катодных осциллографах в качестве устройства, запускающего так называемую «ждущую» развертку электронного луча по оси времени при приходе на вход осциллографа одиночного импульса напряжения), в счетчиках электрических импульсов, а также в современных электронных цифровых математических машинах.

Мы рассмотрим упрощенную схему триггера (рис. 255), которая получается из полной схемы (рис. 254) в предположении, что сеточные токи отсутствуют и что Тогда коэффициент передачи делителей напряжения, передающих колебания анодных напряжений на сетки ламп, получается постоянным и не зависящим от формы колебаний анодных напряжений

где эквивалентные емкости анодных узлов (емкости на рис. 255) равны Эта упрощенная схема, как мы увидим, описывается двумя уравнениями первого

Рис. 254.

порядка (в то время как полная схема (рис. 254) при системой уравнений четвертого порядка) и позволит нам рассмотреть работу триггера как реле, перебрасываемого из одного состояния равновесия в другое подачей импульса напряжения в несимметричную точку схемы например на сетку одной из ламп (часто, чтобы не накладывать дополнительных электрических связей на управляющую сетку лампы, этот импульс подают на другую сетку лампы (например, на пентодную, если в схеме использованы пентоды) или на небольшое сопротивление, включенное в цепь катода (рис. 256)).

Рис. 256.

Рис. 257.

Для этой схемы (в обозначениях рис. 255) имеем следующие уравнения:

Далее, пренебрегая анодной реакцией, будем считать, что анодный ток каждой из ламп является функцией только напряжения на ее

сетке, т. е. что Относительно характеристики ламп предположим, что она имеет вид, изображенный на рис. 257, т. е. обладает следующими свойствами:

1) ток является монотонно возрастающей функцией напряжения на сетке, т. е. причем где ток насыщения лампы;

2) крутизна характеристики имеет единственный максимум и монотонно спадает до нуля при удалении от этого максимума в обе стороны.

Вводя в написанные выше уравнения колебаний характеристику ламп, а также используя (5.60), можно привести эти уравнения к виду:

где

или к одному уравнению первого порядка:

Состояния равновесия схемы определяются, очевидно, уравнениями:

и могут рассматриваться как точки пересечения кривых (5.63а) и (5.636) на фазовой плоскости (заметим, что первая из них является изоклиной горизонтальных касательных, а вторая — изоклиной вертикальных касательных). Нетрудно видеть, что при любых значениях параметров существует «симметричное» состояние равновесия — состояние равновесия лежащее на биссектрисе которая, кстати сказать, является интегральной прямой уравнения (5.62). Действительно, уравнение, определяющее координаты этого состояния равновесия:

в силу указанных выше свойств функции всегда имеет одно и только одно решение, соответствующее единственной точке пересечения кривой и прямой Кроме этого «симметричного» состояния равновесия схема может иметь и другие, не лежащие на интегральной прямой но попарно ей симметричные (если точка является состоянием равновесия, то состоянием равновесия будет и точка ; таким образом, общее число состояний

равновесия всегда нечетное. Для отыскания состояний равновесия нужно построить кривые (5.63а) и (5.636) и найти их точки пересечения. Такое построение дано на рис. 258, а — для случая когда имеется только одно («симметричное») состояние равновесия, и на рис. 258, б — для случая когда имеются три состояния равновесия.

Рис. 258.

Перейдем теперь к исследованию устойчивости состояний равновесия. Для этого составим уравнение первого приближения для малых отклонений состояния равновесия Положим

тогда, как нетрудно убедиться, уравнения первого приближения имеют вид:

а характеристические показатели определяются уравнением

откуда

Принимая во внимание, что есть тангенс угла наклона касательной кривой (5.63а) и тангенс угла наклона касательной кривой (5.63б), получаем, что «симметричное» состояние равновесия устойчиво (устойчивый узел) при и неустойчиво (седло) при Следовательно, это состояние равновесия устойчиво, если оно единственно, и неустойчиво, если состояний равновесия три; остальные два состояния равновесия в последнем случае всегда устойчивы (они являются устойчивыми узлами).

Далее, если обозначить через и правые части уравнений (5.61), то

на всей фазовой плоскости, и поэтому, согласно критерию Бендиксона, рассматриваемая система не допускает существования замкнутых контуров, составленных из фазовых траекторий, и, тем более, замкнутых фазовых траекторий. Нетрудно также видеть, что из бесконечности все фазовые траектории направлены внутрь; в самом деле, из уравнений (5.61) следует, что выражение

при достаточно больших их или всегда отрицательно; иначе говоря, окружность достаточно большого радиуса А является циклом без контакта, причем все фазовые траектории входят внутрь круга, ограниченного этой окружностью.

Этих сведений достаточно для разбиения фазовой плоскости на фазовые траектории. Это разбиение схематически изображено на рис. 259, а (для 1) и на рис. 259, б (для

Рассмотрим теперь процесс переброса триггера из одного состояния равновесия в другое при подаче на одну из ламп импульса напряжения. Пусть и триггер в начале работы находится в состояний равновесия, соответствующем узлу на фазовой плоскости, когда лампа заперта, а лампа отперта. Пусть на лампу подается короткий импульс напряжения, отпирающий ее (например, отрицательный импульс на катодное сопротивление этой лампы; см. рис. 256). Уравнения схемы при наличии добавочного напряжения подведенного к лампе Ли имеют вид:

Считая импульс прямоугольным, с плоской вершиной (рис. 260), мы можем во время действия импульса (при ) рассматривать нашу систему как автономную и построить ее фазовый портрет на фазовой плоскости (он, конечно, будет отличаться от портрета,

построенного нами ранее для По-прежнему каждое движение приводит систему в одно из устойчивых состояний равновесия (устойчивые состояния равновесия — опять узлы).

Рис. 259. (см. скан)

Состояния равновесия теперь определяются как точки пересечения кривых

первая из которых получается из кривой (5.63а) сдвигом влево на (мы считаем, что ), а вторая совпадает с кривой (5.63б).

Пусть амплитуда импульса настолько велика, что во время действия импульса триггер имеет одно состояние равновесия У (оно будет устойчивым узлом) слева от биссектрисы (рис. 261). Будем считать крутизны переднего и заднего фронтов импульса настолько большими, что за время их прохода состояние системы не успевает заметно измениться (емкости схемы не успевают заметно изменить заряды). Тогда непосредственно после прохода переднего фронта импульса (при состояние системы будет изображаться на фазовой плоскости (рис. 261) точкой которая до прихода импульса была устойчивым узлом, но во время действия импульса является простой, неособой точкой. По соответствующей фазовой траектории изображающая точка пойдет в соответствии с уравнениями (5.64) к устойчивому узлу У.

Рис. 260.

Рис. 261.

Если за время действия импульса (т. е. до ) она перейдет через биссектрису то после прекращения импульса (при ) она окажется в области «притяжения» узла на фазовой плоскости для (рис. 259, б) и в дальнейшем будет асимптотически к нему приближаться. Таким образом, если импульс

имел достаточно большую амплитуду и длительность то он перебросит триггер из состояния равновесия в состояние равновесия Заметим, что после повторной подачи такого же импульса триггер, конечно, останется в состоянии равновесия (для обратного переброса необходим импульс противоположного знака).

Рис. 262.

Сделаем еще одно замечание, имеющее определенный практический интерес. Как известно, триггер применяется в качестве счетной ячейки для счета электрических импульсов (по модулю, равному двум). С этой целью импульсы подают в симметричную точку схемы (например, на общее катодное сопротивление; см. рис. 262), и тогда каждый импульс перебрасывает триггер из одного состояния равновесия в другое (тем самым по состоянию триггера можно определить, какое число импульсов, четное или нечетное, было подано на вход триггера). Нетрудно видеть, что рассмотренная нами упрощенная схема триггера не будет перебрасываться из одного состояния равновесия в другое при подачё импульса в симметричную точку схемы. В самом деле, уравнения колебаний упрощенной схемы при симметричной подаче импульса прямоугольной формы и амплитуды запишутся в виде:

или в виде одного уравнения:

которое, очевидно, имеет интегральной кривой прямую Поэтому во время действия импульса изображающая точка не может перейти через биссектрису следовательно, попасть в область притяжения другого узла. Оставшись в области притяжения исходного состояния равновесия, она после прекращения импульса вернется в это состояние равновесия и, таким образом, переброс триггера из одного состояния равновесия в другое не состоится. Это отражает реальные свойства триггера: для того чтобы триггер мог работать в качестве счетной ячейки, он должен иметь достаточно большие емкости С (рис. 254).