4. Другие примеры.

Рассмотрим теперь колебания RC- или -контура, которые начинаются из состояний, не удовлетворяющих соответствующему уравнению первого порядка:

или

Для рассмотрения таких колебаний мы должны или перейти к другим, более «полным» идеализациям соответствующих реальных электрических контуров, учитывая необходимые существенные малые параметры, или дополнить уравнения (1.49) или (1.50) соответствующими условиями скачка.

Пусть в начальный момент в RС-контуре заданы такие начальные значения заряда и тока , а в -контуре — значения тока которые не удовлетворяют уравнениям первого порядка для этих контуров (например, начальные состояния которые могут быть заданы замыканием ключа в схемах, изображенных на рис. 35 и 36). Чтобы получить системы, совместные с заданными начальными условиями, учтем в случае RС-контура малую индуктивность, которой обладают сопротивление и соединительные провода, и в случае -контура — малую емкость, которой обладают катушка самоиндукции, сопротивление

и соединительные провода. Представляя эти малые паразитные индуктивности и емкости в виде сосредоточенных, мы придем к системам, схемы которых изображены на рис. 37 и 38 (там малые паразитные индуктивность и емкость).

Рис. 35.

Рис. 36.

Уравнения колебаний теперь запишутся в виде

для схемы на рис. 37 и

для схемы на рис. 38, т. е. в виде линейных уравнений второго порядка с малым положительным коэффициентом при старшей производной, полностью аналогичных уравнению (1.14) для движения осциллятора с малой массой, которое нами было подробно рассмотрено в пункте 2 настоящего параграфа.

Рис. 37.

Рис. 38.

На основании этой аналогии мы можем утверждать, что в начальной стадии движения в RС-контуре (при малой индуктивности будут происходить быстрые изменения силы тока (заряд конденсатора за это время почти не меняется), а в -контуре (при малой емкости быстрые изменения или э. д. с.

самоиндукции (ток I при этом почти не меняется). В результате быстрых изменений тока (в первом случае) и э. д. с. самоиндукции (во втором) системы за малый промежуток времени, длительность которого по порядку величин совпадает с или приходят в состояния, близкие к совместным с уравнением первого порядка (1.49) или (1.50). Дальнейшие движения удовлетворительно отображаются уравнениями первого порядка (тем точнее, чем меньше по сравнению с единицей в первом случае и втором).

Если нас не интересуют подробности этих быстрых изменений, мы можем не принимать во внимание малую индуктивность в RC-контуре и малую емкость в RL-контуре и вместо детального рассмотрения начальной стадии движения ввести соответствующие условия скачка.

Для RС-контура мы должны допустить скачки тока при неизменном заряде конденсатора для -контура — скачки э. д. с. самоиндукции или при неизменном токе и

Если бы мы допустили мгновенные изменения силы тока в цепи с самоиндукцией, т. е. допустили бы, что в некоторые моменты то на концах катушки самоиндукции мы должны были бы допустить возникновение бесконечно большой э. д. с. самоиндукции С другой стороны, если бы мы допустили мгновенные изменения заряда на обкладках конденсатора, то это вынудило бы нас допустить возникновение бесконечно больших токов в контуре (так как если изменяется скачком, Как те, так и другие изменения запрещаются установленными нами постулатами о характере скачков.

Заметим, что во всех трех рассмотренных примерах мы имели дело с консервативными скачками, т. е. с такими скачками, при которых энергия системы не менялась. В самом деле, в случае осциллятора без массы вся энергия системы состояла из потенциальной энергии пружины и равнялась -?- (кинетическая энергия равнялась

нулю в силу предположения, что При скачке координата х оставалась неизменной, следовательно, не менялась и энергия. Точно так же в -контуре энергия системы состояла из энергии электрического поля в конденсаторе (энергия равнялась в RL-контуре — из энергии магнитного поля катушки самоиндукции поскольку при скачке не менялся в первом случае заряд конденсатора и во втором — ток I, энергия также оставалась неизменной.

Не следует, однако, думать, что консервативность является непременным условием, справедливым для любых скачков. Уже в механике при рассмотрении ударов приходится часто пользоваться представлением о неконсервативных ударах (при ударе кинетическая энергия соударяющихся тел «мгновенно» уменьшается). С подобными же скачками, при которых энергия системы меняется, мы встретимся в дальнейшем (в теории часов и лампового генератора с -характеристикой). Сейчас же мы приведем только один пример системы с неконсервативными скачками.

Рис. 39.

Рассмотрим схему, изображенную на рис. 39. Состояние схемы, получаемое непосредственно после замыкания ключа (ток в сопротивлении и напряжение на конденсаторе равны нулю, напряжение на конденсаторе равно очевидно, не совместимо с уравнением (1.49) для RС-контура с емкостью . Пренебрегая сопротивлением и индуктивностью ключа (в замкнутом состоянии) и проводов, соединяющих конденсаторы мы должны допустить, что после замыкания ключа по проводам, соединяющим эти конденсаторы, потекут бесконечные токи, в результате чего напряжения на конденсаторах и а также ток через сопротивление изменятся скачком. В конце этого «мгновенного» скачка напряжения на конденсаторах должны стать одинаковыми (обозначим это напряжение через а ток через сопротивление R должен быть равным Для определения заметим, что во время «мгновенного» перезаряда конденсаторов суммарный заряд конденсаторов не должен изменяться, ибо токи через сопротивление R всегда конечны. Таким образом,

откуда

После такого скачка тока, зарядов и напряжений на конденсаторах, когда напряжения на конденсаторах уравняются, начнется

непрерывное движение, определяемое, очевидно, уравнением (1.49) (с емкостью Как легко подсчитать, энергия системы при таком скачке уменьшается. В самом деле, сравним энергию системы до скачка —с энергией системы после скачка Очевидно,

Мы рассмотрели сейчас скачок в системе, опираясь на добавочное (по отношению к уравнению предположение о сохранении при скачке суммы зарядов конденсаторов. То же самое можно сделать и путем рассмотрения более «полной» системы, которая уже допускает заданное начальное состояние; например, это может быть система, в которой учитывается малое сопротивление проводов соединяющих конденсаторы (рис. 40). Мы предоставляем читателю проделать это рассмотрение и доказать на его основе примененное нами условие скачка.

Рис. 40.

Приведенными примерами в достаточной степени поясняется все сказанное относительно систем, движения которых отображаются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с малыми положительными коэффициентами при второй производной.

Как мы видели, в таких системах на начальной стадии движения могуг иметь место (при соответствующих начальных условиях) быстрые изменения состояний, после которых движение описывается достаточно удовлетворительно соответствующим уравнением первого порядка. Эти быстрые изменения состояний, во время которых играют существенную роль те или иные малые параметры, могут быть проанализированы только при учете последних, т. е. в результате решения соответствующих уравнений второго порядка, несмотря на то, что движения системы после этих быстрых изменений состояний достаточно точно отображаются уравнением первого порядка. Однако, если нас не интересуют детали этой начальной и весьма кратковременной стадии движения, мы можем заменить это рассмотрение уравнения второго порядка предположением о том, что состояние, совместное с уравнением первого порядка, устанавливается мгновенно, скачком. При этом мы должны ввести новый постулат (условие скачка), который определял бы то состояние, в которое приходит система в результате скачка и начиная с которого движение системы отображается соответствующим уравнением первого порядка.

Это представление о скачкообразных изменениях состояний системы будет нами широко использоваться в дальнейшем при изучении систем с «разрывными» колебаниями (см. гл. X).