§ 12. Приближенные методы интегрирования

Как уже неоднократно указывалось, до сего времени не существует регулярных методов интегриро вания нелинейных дифференциальных уравнений в общем виде, а вместе с тем и строгих методов построения фазового портрета исследуемой нелинейной динамической системы. Поэтому для исследования конкретной динамической системы часто наиболее простым (а иногда и единственным) является метод приближенного графического интегрирования, т. е. метод построения приближенного фазового портрета данной динамической системы. Конечно, метод графического интегрирования, как и другие подобные методы, требует задания определенных численных значений для всех параметров системы или в лучшем случае заданий численных значений комбинаций из этих параметров. Это — существенный недостаток всяких методов численного интегрирования, ограничивающий общность результатов и затрудняющий обозрение всей проблемы в целом. Поэтому там, где возможно применение аналитических методов, может быть даже и сложных, их всегда следует предпочесть методам численного интегрирования. Однако к рассматриваемым нами проблемам аналитические методы исследования могут быть применены только при известных ограничивающих условиях, которые не могут быть соблюдены в ряде автоколебательных устройств, в. частности в таких устройствах, которые не содержат обычных колебательных контуров. Это и есть один из тех случаев, когда метод приближенного графического интегрирования оказывается единственно возможным. Наиболее подходящим для наших целей приемом приближенного

графического интегрирования является метод изоклин. Суть этого метода заключается в следующем.

Рис. 281. (см. скан)

Поведение рассматриваемых нами систем после исключения времени описывается одним нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка:

Кривые на фазовой плоскости представляют собой геометрическое место таких точек, через которые все отыскиваемые нами интегральные кривые проходят под одним и тем же углом

к оси абсцисс, именно под углом, тангенс которого равен С. Поэтому кривые и носят название изоклин (кривых равного наклона). Придавая С различные численные значения (значения параметров системы, входящих в уравнение (5.3), также должны быть численно заданы), мы можем построить на фазовой плоскости семейство изоклин разыскиваемых интегральных кривых (рис. 281). Для каждой из изоклин известен тот наклон, который имеют все интегральные кривые, пересекающие данную изоклину, и поэтому мы можем на каждую изоклину нанести отрезки касательных к интегральным кривым, проходящим через эту изоклину. Ясно, что точки пересечения двух или нескольких изоклин суть особые точки, так как в них направление интегральных кривых становится неопределенным.

Построив достаточно густое поле изоклин, можно приступить к построению приближенного фазового портрета. Начнем построение с интегральной кривой, проходящей через какую-либо точку фазовой плоскости. Пусть точка лежит на изоклине Проводим из нее два отрезка: один в направлении касательной, соответствующей изоклине а другой в направлении касательной, соответствующей соседней изоклине до пересечения их с этой соседней изоклиной. Получаем точки и лежащую между ними точку принимаем за точку нашей интегральной кривой. Из точки проводим две прямые под углами, соответствующими изоклинам до пересечения с изоклиной Точка лежащая посредине между будет третьей точкой отыскиваемой интегральной кривой. Продолжая дальше подобное построение, мы получим последовательность точек через которые и проведем интегральную кривую, проходящую через точку Подобным образом мы можем продолжать построение этой интегральной кривой и нанести на фазовую плоскость ряд других интегральных кривых. В результате мы получим, правда, приближенный, но достаточно подробный фазовый портрет исследуемой конкретной системы (имеющей определенные значения параметров). По этому портрету мы сможем судить, устанавливаются ли при данных значениях параметров автоколебания в системе, каких наибольших значений достигают х и у при этих колебаниях и т. д. Однако по этому портрету, построенному для определенных значений параметров системы, мы не можем судить о том, как изменяется поведение системы при изменении того или иного из ее параметров. Для ответа на этот вопрос нужно построить целую «галерею» фазовых портретов, соответствующих различным значениям того параметра, влияние изменений которого мы хотим проследить.

Типичным примером, иллюстрирующим применение; метода изоклин, может служить произведенное Ван-дер-Полем [188, 189] исследование фазовой плоскости уравнения

Это уравнение характерно (конечно, при соответствующих идеализациях) для ряда автоколебательных задач.

Рис. 282. (см. скан)

Например, к этому уравнению может быть приведено уравнение колебаний лампового генератора в случае кубической характеристики лампы; сам Ван-дер-Поль интересовался этим уравнением в связи с теорией колебаний симметричного мультивибратора, в цепи которого введены самоиндукции.

Записав уравнение второго порядка в виде системы двух уравнений первого порядка:

и деля затем одно уравнение на другое, получим уравнение первого порядка — уравнение интегральных кривых:

Придавая параметру определенные положительные числовые значения и применяя метод изоклин, Ван-дер-Поль получает «фазовую портретную галерею», изображенную на рис. 282 (а, б, в относятся соответственно к случаям малых, средних и больших значений ). При помощи этой галереи можно судить о том, как изменяется характер движения в системе при изменении параметра Состояние равновесия системы (0,0) при всегда неустойчиво -неустойчивый фокус, при -неустойчивый узел). Все портреты содержат единственный предельный цикл, следовательно, при всех значениях в системе происходит установление автоколебательного режима, причем установление автоколебаний является мягким (одни и те же автоколебания устанавливаются при любых начальных условиях). Но размахи и форма этих автоколебаний, а также характер их установления в разных случаях различные. При малых положительных предельный цикл близок к окружности (автоколебания близки к синусоидальным), остальные фазовые траектории суть спирали, медленно скручивающиеся к предельному циклу (рис. 282, а). При возрастании увеличиваются размахи величины форма автоколебаний становится все более и более отличной от синусоидальной (предельный цикл имеет форму, все более и более отличную от окружности, рис. 282, б и в); наконец, начальное нарастание колебаний (из начальных состояний, близких к состоянию равновесия), осцилляторное при малых становится апериодическим при больших

В качестве второго примера приведем построение методом изоклин фазовых портретов лампового генератора с двухзвенной RС-цепочкой.

Две схемы такого генератора (с двойным триодом и с лампой в транзитронном режиме) приведены на рис. 283.

Рис. 283.

Уравнения обеих схем, полученные на основании законов Кирхгофа, при обычных наших предположениях (при пренебрежении, в частности, сеточными токами и анодной реакцией) имеют в обозначениях рис. 283 следующий вид:

где характеристика ламповой группы (или лампы в транзитронном режиме); для работы схем как автоколебательных систем существенно, что эта характеристика (рис. 284) имеет падающий участок, на котором крутизна отрицательна.

Рис. 284.

Для единственного состояния равновесия, очевидно, имеем:

Для упрощения уравнений введем новые переменные пропорциональные переменным составляющим напряжений на сетке и на конденсаторе С,

новое, безразмерное время и приведенную, безразмерную характеристику

где и некоторые масштабы напряжения и времени, а — безразмерный коэффициент и 5 — абсолютное значение крутизны характеристики в «рабочей точке», соответствующей состоянию равновесия при и Тогда уравнения (5.88) примут вид:

(точкой вверху обозначено дифференцирование по новому, безразмерному времени). Выбрав

мы приведем уравнения (5.88) к следующему безразмерному виду:

с двумя (безразмерными) параметрами

(коэффициент усиления положительный параметр по порядку величины обычно совпадающий с не превышает

Единственное состояние равновесия лежит теперь (на плоскости х, у) в начале координат; характеристическим уравнением для него, как нетрудно видеть, является квадратное уравнение

ибо по определению функции Поэтому это состояние равновесия устойчиво при неустойчиво при является фокусом при и узлом при (на рис. 285 приведено разбиение плоскости параметров на области, соответствующие различным типам состояния равновесия).

Бесконечность в подобных схемах всегда неустойчива. В самом деле, при больших (по абсолютному значению) напряжениях и мы попадаем на горизонтальные участки характеристики, где или постоянны. Поэтому в далеких областях схема ведет себя как линейная, имеющая состояние равновесия типа устойчивого узла, и следовательно, все фазовые траектории приходят из бесконечности в

область конечных х, у. И если в начале координат лежит неустойчивое состояние равновесия (это имеет место при то на фазовой плоскости существует по крайней мере один устойчивый предельный цикл. Для случая характеристики с монотонно убывающей (по абсолютной величине) крутизной (при удалении от «рабочей точки») этот предельный цикл будет единственным.

Рис. 285.

Для отыскания этого предельного цикла можно применить, например, метод изоклин. Разделив первое уравнение (5.89) на второе, мы получим дифференциальное уравнение интегральных кривых:

уравнением изоклины (с наклоном касательной к интегральным кривым, равным х) будет:

В частности, изоклиной горизонтальных касательных является ось у (ось х = 0), а изоклиной вертикальных касательных кривая

Предельные циклы, а также некоторые другие фазовые траектории, построенные при помощи метода изоклин, изображены на рис. 286—289. Построения даны для характеристики

(падающий участок характеристики аппроксимирован симметричной кубической параболой) и для различных значений, параметров В областях уравнения (5.89) линейны и имеют прямолинейные фазовые траектории (в области ), где корни уравнения Этим обстоятельством можно воспользоваться для построения цикла без контакта, содержащего внутри себя предельный цикл. Этот цикл без контакта (кривые на рис. 286—288) составляется из фазовых траекторий и и вертикальных отрезков прямых и

При автоколебания в схемах близки к синусоидальным, о чем можно судить по тому, что форма предельного цикла на рис. 286 близка к эллипсу. При увеличении «возбуждения» схемы (при увеличении К или при уменьшении когда неравенство уже не соблюдается) форма предельного цикла искажается (рис. 287 и 288) и автоколебания становятся все более и более отличными по форме от синусоидальных При автоколебания приближаются к разрывным (рис. 285), так как фазовая скорость движения изображающей точки вне кривой (5.93а) становится, как это следует из второго уравнения (5.89), очень большой (она стремится к бесконечности при мы получаем фазовый портрет мультивибратора с одной RС-цепью и с малой паразитной емкостью При малых (т. е. при предельный цикл лежит в малой (тем меньшей, чем меньше окрестности кривой абвга, которая состоит из дуг кривой (5.93а) и отрезков горизонтальных прямых и является предельным положением (при предельного цикла. Этим обстоятельством, характерным не только для мультивибратора, мы будем широко пользоваться при рассмотрении различных систем с «разрывными колебаниями» (см. главу X).

Графическое интегрирование позволяет, таким образом, не только получить ответы на вопрос о поведении системы при данных значениях ее параметров, но и проследить, как изменяется поведение системы при изменении того или иного из ее параметров. Правда, для этого нужно выполнить значительное число построений. Однако в некоторых случаях такого общего обозрения поведения системы не требуется, и возникает лишь вопрос о поведении системы при данных начальных условиях, что можно приближенно описать при помощи тех значений, которые будут получать координата и скорость системы через определенные промежутки времени после начального момента Например, если мы изучаем какой-либо периодический

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

процесс и знаем одно из состояний, соответствующих этому периодическому процессу, а также хотя бы приблизительно период этого процесса то достаточно вычислить значения координаты и скорости, разделенные промежутками времени, допустим, в чтобы получить представление о ходе всего процесса. Такие задачи — вычисление значений функций, определяемых данными дифференциальными уравнениями (и данными начальными условиями), — можно производить при помощи одного из методов приближенного численного интегрирования, например метода Адамса или метода Рунге. Этот последний метод наиболее прост и для рассматриваемых нами вопросов, пожалуй, наиболее пригоден; поэтому мы и изложим вкратце его применение к интересующим нас задачам. Мы имеем два дифференциальных уравнения:

и начальные значения при Нужно вычислить приращения значений х и у за малый промежуток времени Для этого составляют выражения:

Тогда приращения функции х ну за малый промежуток времени могут быть с большой степенью точности выражены следующим образом:

Мы получаем значения функции х и у в момент времени Принимая за новые начальные значения, мы можем вычислить значения х и у для момента продолжая таким образом дальше, получить ряд последовательных значений разделенных промежутками времени Для определения каждой пары значений как видим, требуется вычисление четырех значений функции и четырех значений функции Если функции сложные, то это вычисление становится весьма громоздким. В этом случае удобнее может оказаться метод Адамса.