§ 3. Ламповый генератор (симметричный случай)

1. Уравнения колебаний и фазовая плоскость.

Рассмотрим теперь ламповый генератор (рис. 348), предполагая, что характеристика лампы имеет насыщение и симметрична (рабочая точка лампы, соответствующая состоянию равновесия, лежит посередине восходящего участка характеристики). Именно, мы будем аппроксимировать характеристику лампы симметричной кусочно-линейной функцией:

график которой изображен на рис. 364.

Как и в предыдущем параграфе, будем пренебрегать анодной реакцией лампы, сеточными токами и паразитными (в том числе и внутриламповыми) емкостями. Заменой переменных

учитывая, что теперь

мы приведем уравнение лампового генератора (уравнение (8.3)) к следующему виду:

где, как и раньше,

Рис. 364.

Таким образом, при кусочно-линейной характеристике лампы (8.20) фазовая плоскость лампового генератора х, у, гдеу разбивается прямыми на три «области линейности»: в каждой из которых справедливо свое линейное уравнение (8.21) (рис. 365). При этом, исходя из ясных физических предпосылок (они ранее неоднократно приводились), мы будем требовать непрерывности фазовых траекторий всюду на фазовой плоскости и, в частности, на границах

«областей линейности» (на прямых Заметим также, что уравнение (8.21) инвариантно относительно замены переменных х, у на фазовые траектории в областях (I) и (III) симметричны друг другу относительно начала координат. Такая же симметрия имеет место и для траекторий в верхней и нижней половинах полосы (II).

Динамическая система (8.21) имеет единственное состояние равновесия — начало координат которое является узлом или фокусом, устойчивым при (т. е. при и неустойчивым при Ниже мы будем рассматривать главным образом последний случай — случай самовозбуждающегося генератора, т. е. будем считать, что

Рис. 365.

2. Точечное преобразование.

Фазовая плоскость х, у рассматриваемой системы заполнена кусками траекторий соответствующих линейных уравнений (8.21); эти куски траекторий «склеиваются» своими концами на прямых образуя целые фазовые траектории. Изучение структуры разбиения на траектории такой «склеенной» фазовой плоскости может быть проведено путем рассмотрения точечного преобразования полупрямой (полупрямой самой в себя, осуществляемого при движении изображающей точки по соответствующим кускам траекторий.

В самом деле, в рассматриваемом нами случае бесконечность, как нетрудно видеть, неустойчива. Также неустойчивым является и единственное состояние равновесия (оно является неустойчивым фокусом при и неустойчивым узлом при Поэтому на фазовой плоскости имеется по крайней мере один устойчивый предельный цикл (см. теорему V на стр. 409 и сноску на этой странице). Ясно, что предельные циклы должны охватывать начало координат — единственное состояние равновесия

(см. § 8 гл. V) и, с другой стороны, не могут лежать целиком внутри полосы так как внутри этой области уравнение (8.21) является линейным. Более того, поскольку рассматриваемая нами система не может иметь несимметричных предельных циклов, предельные циклы будут симметричными (относительно начала координат) и, следовательно, будут проходить по всем трем областям и пересекать выбранную нами полупрямую «без контакта» — полупрямую 5. Таким образом, мы найдем все предельные циклы (и тем самым будем знать структуру разбиения фазовой плоскости х, у на траектории), если мы построим точечное преобразование полупрямой 5 самой в себя, осуществляемое движением изображающей точки по траекториям, проходящим через все три «области линейности», и определим его неподвижные точки.

Это точечное преобразование (обозначим его через очевидно, может быть представлено в виде произведения четырех преобразований точечных преобразований полупрямой 5 в наконец, в которые осуществляются траекториями соответственно в областях (см. рис. 365). Но преобразования

в силу указанной выше симметрии фазовых траекторий друг другу относительно начала координат. Следовательно, если ввести преобразование полупрямой 5 в полупрямую

(иначе говоря, «полное» преобразование получается двукратным применением преобразования так как преобразование преобразование полупрямой в полупрямую 5, осуществляемое траекториями в областях (III) и (II), тождественно преобразованию

Поэтому для целей изучения структуры разбиения фазовой плоскости на траектории мы можем ограничиться рассмотрением более простого преобразования Неподвижные точки этого преобразования, очевидно, являются точками пересечения симметричных предельных циклов (а иных, несимметричных предельных циклов система не имеет) с полупрямыми

Перейдем к вычислению функции соответствия для преобразования Преобразование очевидно, тождественно преобразованию предыдущего параграфа (см. (8.8) и (8.12)). Таким образом, для случая функция соответствия для преобразования имеет вид:

где, как и раньше, параметр преобразования (приведенное время пробега изображающей точки в области (I), причем и

График функции соответствия (8.22) был приведен на рис. 353.

Для фазовой траектории, выходящей при из точки полупрямой и проходящей в области (II), имеем согласно (8.21) (см. § 4 гл. I) для случая

где

Изображающая точка, находившаяся в начальный момент на полупрямой попадает через некоторый интервал времени на полупрямую этот переход и был назван преобразованием Параметрические выражения для этого преобразования мы получим, полагая в уравнениях (8.23), что при и разрешая полученные соотношения относительно и

где

Для исследования кривой (8.24) достаточно заметить следующее:

2) при некотором определяемом уравнением или причем, как нетрудно видеть,

3) Дифференцируя (8.24), имеем:

и

Поскольку и

при в этом интервале изменения т. е. при изменении от до монотонно убывает от до от до Следовательно, интервалом наименьших положительных значений при прохождении которого мы переберем все точки полупрямой будет

4) Так как

при любых увеличении от до (при

уменьшении до 0) монотонно возрастает от до Кривая (8.24) имеет асимптоту причем в силу эта кривая расположена над асимптотой.

Рис. 366.

Указанных свойств достаточно для построения графика функции соответствия (8.24); он приведен на рис. 366.

3. Неподвижная точка и предельный цикл.

Построим кривые (8.22) и (8.24) на одной плоскости — на диаграмме Ламерея (рис. 367). Их точки пересечения, очевидно, и являются неподвижными точками преобразования преобразования полупрямой в полупрямую при Аналитически неподвижные точки определяются следующей системой уравнений:

которая получается из выражений (8.22) и (8.24), если приравнять в них и положить

Покажем, что существует единственная точка пересечения кривых (8.22) и (8.24). В самом деле, существование хотя бы одной точки пересечения следует из непрерывности этих кривых и из неравенств

Далее, если бы существовало несколько точек пересечения, то для первой из них (с наименьшим было бы а для следующей Последнее невозможно, так как (при любых Таким образом, существует единственная точка пересечения кривых (8.22) и (8.24) — единственная неподвижная точка преобразования при и притом устойчивая, поскольку в ней

Рис. 367.

То же самое имеет место и при но так как график функции при имеет тот же вид, что и при

Диаграмма Ламерея для случая 1 и любых изображена на рис. 368, т. е. и при этих значениях параметров имеется единственная и устойчивая неподвижная точка точечного преобразования

Следовательно, при любых значениях параметров системы на. фазовой плоскости существует единственный устойчивый предельный цикл, к которому стремятся (при все фазовые траектории. Иначе говоря, генератор при сделанных нами в этом

параграфе предположениях относительно характеристики и выбора рабочей точки лампы имеет мягкий режим возбуждения: единственный автоколебательный режим устанавливается при любых начальных условиях.

Период автоколебаний, очевидно, равен

(в единицах безразмерного времени), где и значения параметров преобразований и соответствующие неподвижной точке.

Рис. 368.

Не проводя численного решения системы трансцендентных уравнений, определяющих неподвижную точку (системы уравнений (8.25) для что выходит за рамки книги, мы рассмотрим три предельных случая:

1) , тогда (при этом неподвижная точка, а вместе с ней и предельный цикл уходят в бесконечность).

2) , тогда ; координата неподвижной точки , предельный цикл вырождается в окружность .

3) . В этом случае (вычисления мы опускаем, поскольку они полностью аналогичны проведенным в предыдущем параграфе) определяется уравнением

предельный цикл близок к окружности радиуса

а автоколебания близки к синусоидальным с периодом 2? (в единицах безразмерного времени).