ГЛАВА VIII. МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

§ 1. Введение

Перейдем теперь к количественному рассмотрению нелинейных динамических систем, ограничиваясь по-прежнему автономными системами второго порядка (с одной степенью свободы). Как мы уже говорили, при современном состоянии теории это количественное рассмотрение (аналитическими методами) может быть удовлетворительно проведено, в сущности, лишь для трех классов систем, имеющих, однако, значительный практический интерес. Один из этих классов составляют системы, близкие к консервативным, и в частности, практически наиболее интересные системы, близкие к гармоническому осциллятору; второй класс — это системы, совершающие разрывные колебания. Эти два класса будут рассмотрены соответственно в гл. IX и X. Наконец, третий класс составляют системы, количественное рассмотрение которых может быть проведено при помощи метода точечных преобразований. Наиболее просто этот метод применяется для так называемых кусочно-линейных систем, т. е. для систем с фазовым пространством, состоящим из областей, в каждой из которых динамические уравнения движения линейны. Количественному рассмотрению таких кусочно-линейных систем и будет посвящена настоящая глава.

Рассмотрение нескольких задач об автоколебаниях кусочно-линейных систем при помощи метода точечных преобразований было уже проведено в § 4—6 гл. III. В этих задачах нахождение предельных циклов и исследование их устойчивости сводились к построению некоторого точечного преобразования полупрямой самой в себя (к вычислению соответствующей функции последования), к отысканию неподвижных точек полученного точечного преобразования и исследованию их устойчивости, причем во всех рассмотренных задачах мы

получали (или могли получить) функцию последования, записанную в явном виде.

Однако в подавляющем большинстве задач трудно получить функцию последования, записанную в явном виде, но сравнительно легко можно получить ее в параметрической форме. Пусть, к примеру, фазовая плоскость х, у некоторой динамической системы разбивается прямыми три области (II) и (рис. 347), в каждой из которых уравнения движения рассматриваемой системы линейны. Обозначим через и 53 полупрямые, через которые изображающая точка переходит соответственно из области (I) в область (II), из (II) - в (III), из в наконец, из области (II) в область и через ординаты точек этих полупрямых.

Фазовые траектории рассматриваемой динамической системы в «областях линейности» (I), (II) и (III) осуществляют точечные преобразования полупрямой 5 в приводя во взаимно-однозначное и непрерывное соответствие точки этих полупрямых; обозначим эти точечные преобразования соответственно через Интегрируя линейные дифференциальные уравнения движения системы в соответствующей области, мы сможем найти для каждого из этих точечных преобразований полупрямой в полупрямую функцию соответствия в параметрической форме:

где времена пробега изображающей точки через соответствующую область.

Рис. 347.

Если фазовые траектории, выходящие из некоторого отрезка полупрямой 5, возвращаются на него, пройдя по всем трем областям (пройдя через области (I), (II), (III) и (II); см. рис. 347), то точечное преобразование II этого отрезка полупрямой самого в себя (с функцией последования получается последовательным применением преобразований как говорят, преобразование является произведением преобразований

Очевидно, задача отыскания предельных циклов, проходящих по всем трем областям (т. е. через области (I), (II), (III) и сводится к нахождению неподвижных точек этого «полного» точечного преобразования т. е. к решению системы (обычно трансцендентных) уравнений:

Устойчивость неподвижной точки и соответствующего предельного цикла нетрудно определить, пользуясь теоремой Кенигса и заметив, что в неподвижной точке

(через обозначены значения для неподвижной точки, т. е. решение системы уравнений (8.2)).

Принципиально таким путем можно получать точечные преобразования для любых кусочно-линейных динамических систем второго порядка и проводить количественное исследование последних. Однако, конечно, практические трудности в исследовании и решении системы уравнений, определяющей неподвижные точки, в выяснении

устойчивости найденных неподвижных точек быстро возрастают с увеличением числа областей линейности уравнений движения (т. е. числа точечных преобразований, произведением которых является «полное» точечное преобразование). Поэтому, чтобы не осложнять изложения, мы в настоящей главе ограничимся рассмотрением лишь сравнительно простых задач об автоколебательных системах, для которых «полное» точечное преобразование является произведением не более двух точечных преобразований прямой в прямую, выражаемых в параметрической форме. В этих задачах неподвижные точки, соответствующие предельным циклам, будут определяться системами двух трансцендентных уравнений; исследование последних удобно вести при помощи диаграмм Ламерея (см. гл. III).