§ 5. Зависимость характера движений от параметра

Во всякой реальной системе на связь между скоростью и координатой, определяемую уравнением (4.1), в той или иной степени влияет ряд факторов. Так, например, если мы рассматриваем механическую систему и эта связь обусловлена наличием сухого трения, то величина трения зависит от ряда факторов: давления между трущимися поверхностями, их температуры и т. д. Эти факторы часто считают неизменными, хотя, строго говоря, они никогда не бывают абсолютно постоянными. Поэтому небольшие изменения этих факторов неизбежны во всякой реальной системе, и с этим всегда необходимо считаться; значит, необходимо знать, как изменяется характер движения при небольших изменениях этих факторов. Кроме того, в ряде случаев нас специально интересует вопрос о том, как изменяется характер движения в системе при изменении того или другого фактора. На математическом языке мы можем сформулировать эту задачу следующим образом: правая часть нашего дифференциального уравнения зависит от некоторого параметра :

нас интересует вопрос, как изменяется характер движений в системе при изменении этого параметра Как мы уже говорили, основными элементами, которые полностью определяют характер движений на фазовой прямой, являются состояния равновесия.

Состояние равновесия рассматриваемой системы дается уравнением

Это уравнение определит на плоскости некоторую кривую (рис. 166), выражающую зависимость координат состояний равновесия от параметра

По предыдущему, состояние равновесия устойчиво, если

и неустойчиво, если

Мы видим, таким образом, что теория зависимости состояний равновесия динамической системы первого порядка от параметра в точности копирует теорию зависимости состояний равновесия простейшей консервативной системы с одной степенью свободы от параметра. Совершенно так же, как и раньше, мы имеем здесь дело с бифуркационными значениями параметра, сменой устойчивости и т. д.

Рис. 166.

Мы не будем повторять уже изложенную теорию бифуркации (см. гл. II, § 5) и перейдем к рассмотрению нескольких физических систем, приводящему при соответствующих упрощающих предположениях относительно их свойств к динамическим системам (моделям) первого порядка.

Рис. 167.