3. Движение проводника, обтекаемого током.

Рассмотрим, наконец, последний пример: бесконечный прямолинейный проводник, по которому течет электрический ток силой притягивает провод длины I и массы по которому течет ток провод кроме того, притягивается пружиной С (рис. 85).

Рис. 85.

Возьмем за начало отсчета на оси то положение провода при котором пружина не деформирована, и обозначим через а координату провода с током Будем предполагать, что проводники всегда параллельны друг другу и что ток с концов провода отводится подводящими проводниками, перпендикулярными к току Тогда силу взаимодействия проводов можно принять равной

где (здесь все величины выражены в единицах системы Принимая силу действия пружины равной где коэффициент упругости пружины, получим, что вся сила, действующая на провод напишется так:

где Уравнение, связывающее параметр и координату положения равновесия х, имеет вид

или

Бифуркационная диаграмма изображена на рис. 86. Уравнение

имеет кратный корень при . Это значит, что при обращается в нуль не только сама функция но и ее производная

Рис. 86.

Следовательно, есть бифуркационное значение параметра. Уравнения движения имеют вид

откуда получаем:

Для рассматриваемой системы помимо особых точек существует «особая» прямая а, на которой сила обращается в бесконечность Интеграл энергии имеет вид

1) Прежде всего рассмотрим случай Особых точек в этом случае две, причем одна из особых точек есть центр, именно та, для которой где ; другая особая точка — седло; для нее конечно, и для той и для другой

. Касательные к интегральным кривым вертикальны на оси на прямой однако этот случай мы исключили из рассмотрения) и горизонтальны на вертикальных прямых, проходящих через обе особые точки.

Рис. 87.

Рис. 88.

Особая прямая есть интегральная кривая и вместе с тем асимптота остальных интегральных кривых. Уравнение сепаратрисы получим, подставив в интеграл энергии (т. е. условие, что сепаратриса проходит через седло) и определяя отсюда константу энергии имеем:

и следовательно, уравнение сепаратрисы имеет вид

Второй корень х этого уравнения при т. е. координату точки пересечения сепаратрисы с осью х, можно найти при помощи графического построения, лоиврценного на рис. 88. Для этого строим две кривые:

или и находим вторую точку пересечения А этих кривых, кроме точки Глядя на фазовый

портрет рассматриваемой системы (рис. 87), сразу можно вывести следующие заключения: отрезок провода будет совершать колебания, если начальные условия таковы, что представляющая точка в начальный момент находится внутри петли сепаратрисы. В частности, при начальной скорости, равной нулю, отрезок провода А В будет колебаться, если его отклонение от положения равновесия будет не слишком велико.

2) Рассмотрим теперь второй случай, В таком случае уравнение не имеет действительных корней, и система не имеет особых точек (состояний равновесия). Ход интегральных кривых для этого случая изображен на рис. 89.

Рис. 89.

Рис. 90.

При любых начальных условиях в конце концов провод приближается с беспредельно возрастающей скоростью по направлению к прямой т. е. к бесконечному

проводу (при хзадача, как мы уже указывали, не имеет смысла). Колебательные движения в этом случае, очевидно, невозможны.

3) Третий, переходный (между первым и вторым) случай соответствует значению Легко видеть, что в первом случае при возрастании обе особые точки сближаются и при сливаются.

Рис. 91.

Этот процесс сближения особых точек изображен на рис. 90. Очевидно, что для получается только одна особая точка (рис. 91) типа, соответствующего случаю, когда потенциальная энергия системы имеет точку перегиба. Таким образом, этот тип особой точки можно рассматривать как результат слияния центра с седлом. Такая особая точка соответствует неустойчивому состоянию равновесия. В этом (третьем) случае периодические движения также невозможны. При всех начальных условиях провод движется с беспредельно возрастающей скоростью по направлению к бесконечному проводнику. Усы проходящие через особую точку, разграничивают два типа движений, отличающихся друг от друга тем, что при движениях первого типа (в начальный момент система находится в области, ограниченной прямой и усами I и II) провод (рис. 85) движется к прямой а, не проходя через положение равновесия; при втором типе движений (в начальный момент система находится вне области, ограниченной усами и прямой провод всегда проходит через положение равновесия.

4) Рассмотрим, наконец, последний сличай, (изменение знака может быть достигнуто переменой направления одного из токов или В этом случае всегда существуют два действительных корня уравнения Из этих двух корней один всегда отрицателен, а другой больше а. Оба состояния равновесия являются центрами и устойчивы; остальные интегральные кривые замкнутые и охватывают или первое или второе состояние равновесия, причем линией, разделяющей эти два типа

замкнутых кривых, является «особая» линия (рис. 92). Таким образом, в случае все движения провода суть колебательные, периодические.

Рис. 92.

Приведенные примеры в достаточной степени поясняют вопрос о зависимости характера движений в консервативной системе от параметра, и теперь мы можем перейти к дальнейшим вопросам, возникающим при рассмотрении консервативных систем.