ГЛАВА IX. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧЕСКОМУ ОСЦИЛЛЯТОРУ

§ 1. Введение

Перейдем теперь к изложению количественных методов рассмотрения автономных динамических систем (с одной степенью свободы), близких к консервативным системам. При этом мы ограничимся наиболее простым случаем, именно системами, близкими к линейной консервативной системе (к гармоническому осциллятору). Уравнения движения таких систем могут быть написаны в виде уравнения второго порядка):

или, если ввести в виде двух уравнений первого порядка:

Здесь безразмерный положительный параметр, который мы в дальнейшем будем полагать достаточно малым. Величина этого параметра при заданной функции определяет степень близости рассматриваемой системы к гармоническому осциллятору.

Типичным примером систем, близких к гармоническому осциллятору, является (конечно, при определенных условиях) ламповый генератор с колебательным контуром в цепи сетки (рис. 465, а) или в цепи анода (рис. 465, б) и с фиксированным смещением.

Рис. 465.

Уравнение колебаний такого генератора (при пренебрежении анодной реакцией, сеточными токами и паразитными параметрами, в частности внутриламповыми емкостями и емкостями монтажа), как известно, записывается в виде:

Это уравнение заменой переменных гнов где — некоторое постоянное напряжение (новые переменные являются безразмерными), преобразуются в уравнение

в котором затухание колебательного контура, крутизна характеристики лампы в рабочей точке) и приведенная, безразмерная крутизна лампы имеет величину порядка единицы). Очевидно, уравнение (9.3) близко к уравнению гармонического осциллятора при

т. е. мы можем рассматривать ламповый генератор как систему, близкую к гармоническому осциллятору, если затухание колебательного контура и обратная связь в генераторе являются достаточно малыми величинами.

Для решения уравнений вида (9.1) с достаточно малыми разработан ряд асимптотических (приближенных) методов, из которых в настоящей главе будут изложены два: метод медленно меняющихся амплитуд (метод Ван-дер-Поля [186]) и метод Пуанкаре [184, 185]. Первый из них дает возможность найти асимптотические решения

уравнения (9.1) (тем более точные, чем меньше параметр как для периодических движений, так и для процессов установления периодических движений или состояний равновесия. Второй (метод Пуанкаре) позволяет найти периодические решения уравнения (9.1) в виде рядов по степеням параметра принципиально с любой степенью точности, если только эти ряды сходятся).