4. Появление предельных циклов из сложного фокуса.

Рассмотрим теперь случай появления предельного цикла из сложного фокуса (т. е. состояния равновесия, для которого или стягивание

предельного цикла в такое состояние равновесия. Этого вопроса мы также уже касались в § 4. Остановимся на нем здесь еще раз в предположении, что правые части рассматриваемой системы зависят от параметра.

Предположим, что исходная система уравнений путем надлежащего преобразования приведена к каноническому виду, т. е. к виду

так что рассматриваемое состояние равновесия лежит в начале координат. При этом ряды, расположенные по степеням х и у, начинающиеся с членов не ниже второго порядка, а действительная и мнимая части корней характеристического уравнения (при этом, не нарушая общности, можно считать, что при всех рассматриваемых Тогда при состояние равновесия О есть устойчивый фокус, а при состояние равновесия О есть неустойчивый фокус; если же то члены первого порядка не дают ответа на вопрос об устойчивости.

Как и в § 4, переходя к полярным координатам и заменяя систему одним уравнением, получим:

Так как, по предположению, при рассматриваемых значениях не обращается в нуль, то ряд в правой части сходится при всех значениях и при всех рассматриваемых значениях для всех достаточно малых значений не зависит от ). При этом (см. § 4 настоящей главы) периодические функции в частности, Как и в § 4, будем искать решение уравнения обращающееся в при (очевидно, имеют смысл только Это решение (ср. § 4), в силу теоремы VI Дополнения I и следствия из этой теоремы, может быть разложено в ряд по степеням сходящийся при всех и при всех рассматриваемых значениях X для значений где можно взять не зависящим от Таким образом,

вычисляются так же, как указано в § 4 настоящей главы, из рекуррентных дифференциальных уравнений вида (6.12) с той лишь разницей, что в рассматриваемом нами случае зависят от Рассмотрим, как и в § 4, функцию последования

на полупрямой

где

Пользуясь этой функцией, мы могли бы провести геометрическое рассмотрение, аналогичное тому, которое мы провели для случая обычной функции последования. Однако мы воспользуемся сейчас иным геометрическим рассмотрением. Вводя функцию

и рассматривая полуплоскость будем строить для этого случая обычные бифуркационные диаграммы.

Посмотрим, какие здесь могут быть возможности:

1) Предположим, что для рассматриваемых значений следовательно и Тогда для рассматриваемых значений кривая не имеет особых точек (в смысле дифференциальной геометрии, т. е. точек, в которых одновременно знак не меняется, особая точка — фокус — сохраняет свою устойчивость и от нее не может отделиться (и к ней не может стянуться) предельный цикл.

2) Займемся теперь случаем, о котором мы говорили выше, когда обращается в нуль, т. е. когда среди рассматриваемых значений найдется такое значение при котором а следовательно и (фокус становится вырожденным). Кривая имеет тогда в точке особую точку (легко проверить, что

Прежде чем исследовать характер бифуркационной диаграммы вокруг точки напомним (см. § 4), что если то непременно обращается в нуль и И вообще, если то непременно и

Рассмотрим функцию Для исследования особой точки найдем выражения для вторых производных при значении Получим:

Рассмотрим подробнее случай, когда

тогда

и точка будет простой двукратной точкой (узлом) для кривой

В этом случае при изменении от значений, меньших до значений, ббльших меняют знак, и рассматриваемый фокус меняет устойчивость.

Проще всего исследовать характер точки если воспользоваться тем, что кривая распадается на прямую и кривую

Для того, чтобы выяснить, как расположена кривая вблизи точки вычислим значения и в этой точке. Получим:

кривая имеет в точке вертикальную касательную:

Предположим, что Тогда кривая вблизи точки расположена целиком по одну сторону от касательной.

Нетрудно видеть, что здесь могут быть четыре возможности в зависимости от знака и знака (согласно сказанному выше не обращается в нуль, и мы будем считать, что Приведем бифуркационные диаграммы, соответствующие этим случаям, где, как обычно, заштрихованные области соответствуют

тогда

Бифуркационная диаграмма представлена на рис. 314. В этом случае при возрастании фокус из устойчивого делается неустойчивым, и при этом появляется устойчивый предельный цикл (и только один).

тогда

Бифуркационная диаграмма имеет вид, представленный на рис. 315. При возрастании фокус из устойчивого делается неустойчивым, при этом неустойчивый предельный цикл (только один) стягивается в фокус.

Рис. 314.

Рис. 315.

В этом случае неустойчивый фокус при возрастании делается устойчивым, и появляется неустойчивый предельный цикл (рис. 316).

Рис. 316.

Рис. 317.

При возрастании неустойчивый фокус делается устойчивым. Устойчивый предельный цикл стягивается в фокус (рис. 317).

Такие же результаты мы получили бы, если бы и первый не равный нулю коэффициент был бы где И в этом случае всегда появляется (или исчезает) один и только один предельный цикл. Случай мы рассматривать не будем. В этом случае, вообще говоря, при изменении могут появиться два, три и т. д. предельных цикла.

Прежде чем перейти к рассмотрению физического примера, заметим следующее. Как мы видели, в простейшем случае (практически наиболее интересном) для решения вопроса нам достаточно знать величины только для Поэтому для упрощения вычислений следует писать уравнение (6.24) только для

где через обозначены и

так как Решение этого упрощенного уравнения одять ищем в виде ряда:

причем а для остальных получаем уравнения:

с начальными условиями

Отсюда можно найти а если то Что же касается выражения для которое также необходимо для решения вопроса о стягивании или рождении цикла, то нужные для его вычисления, могут быть найдены из обычного уравнения, определяющего характеристические корни.