§ 4. Грубые системы

1. Грубые динамические системы.

Вопрос о том, какими свойствами должны обладать динамические системы (модели), соответствующие физическим задачам, в общих чертах рассматривался во Введении. Вернемся к этому вопросу и остановимся на нем более подробно.

При написании дифференциального уравнения, как мы уже говорили, мы никогда не учитываем и не можем учесть всех без исключения факторов, которые так или иначе влияют на поведение рассматриваемой физической системы. С другой стороны, ни один из учитываемых нами факторов не может оставаться абсолютно неизменным во время движения физической системы. Когда мы при рассмотрении той или другой конкретной физической задачи приписываем параметрам вполне определенные фиксированные значения, то это имеет смысл только при условии, что малые изменения параметров не изменяют существенно характера движения. Предположим, что рассматриваемая динамическая система соответствует некоторой реальной физической задаче. В правые части такой динамической системы всегда войдет то или другое число параметров, соответствующих тем параметрам рассматриваемой физической задачи, которые учитывались при написании дифференциальных уравнений.

Если эта динамическая система хорошо отображает свойства рассматриваемой физической задачи, то в силу сказанного выше при малых изменениях параметров у нее, вообще говоря, должны сохраняться те черты, которые характеризуют поведение рассматриваемой физической модели. Прежде всего, у динамических систем, соответствующих физическим задачам, при малых изменениях параметров должна оставаться неизменной качественная структура разбиения на траектории. Если же некоторые качественные черты обусловлены определенными количественными соотношениями между параметрами, входящими в дифференциальные уравнения, описывающие физическую задачу, то эти качественные черты исчезают при сколь

угодно малом изменении параметров. Ясно, что такие качественные черты, вообще говоря, не наблюдаются в реальных системах.

Поэтому естественно прежде всего выделить класс динамических систем, у которых топологическая структура фазовых траекторий не меняется при малых изменениях дифференциальных уравнений. Такие системы мы будем называть «грубыми». В настоящем параграфе дается точное математическое определение грубых систем и устанавливаются их основные свойства.

Пусть данная система (6.1)

— в дальнейшем мы будем называть ее «системой рассматривается в некоторой ограниченной области плоскости О. Предположим, кроме того, что граница области О является «циклом без контакта», т. е. простой замкнутой (несамопересекающейся) кривой С, которую все траектории системы пересекают и ни одна не касается. Это предположение (не являющееся необходимым в излагаемой ниже теории грубых систем) хотя и ограничивает весьма сильно рассматриваемый класс системы, но освобождает дальнейшее изложение от непринципиальных усложнений.

Будем наряду с системой рассматривать измененную систему

где малые добавки к правым частям системы (6.1), являющиеся также аналитическими функциями х и у. При этом в дальнейшем, кроме малости самих функций и мы будем требовать также и малости частных производных от этих функций. Измененную систему мы в дальнейшем будем называть «системой

Очевидно, при всех достаточно малых и кривая С будет циклом без контакта также и для траекторий системы

Напомним предварительно основные общие теоремы, касающиеся изменения решений системы дифференциальных уравнений при малых изменениях правых частей этих уравнений. На этих теоремах основывается все дальнейшее изложение. Первая из этих теорем - теорема IV Дополнения I — может быть в геометрической форме сформулирована следующим образом:

Задавая любой конечный промежуток времена, всегда можно взять систему столь близкую к данной системе и столь близкие начальные точки, чтобы соответствующие траектории систем и в течение выбранного промежутка времени сколь угодно мало отличались друг от друга.

Однако основной для дальнейшего является теорема V Дополнения I, уточняющая по сравнению с теоремой IV характер близости решений систем и в случае, когда близки не только правые части систем и но и их частные производные.

В силу этой теоремы, если

— решение системы а

— решение системы то на любом конечном промежутке времени не только сами функции но и их частные производные будут сколь угодно близки, когда правые части системы и их частные производные достаточно близки к правым частям системы и их частным производным, а начальная точка достаточно близка к точке

На основании приведенных теорем каждая траектория в части, соответствующей конечному промежутку времени, мало меняется при малых изменениях правых частей. Однако отсюда еще вовсе не следует, что она будет мало меняться в течение неограниченного промежутка времени. Отсюда, конечно, тем более не следует, что разбиение на траектории у близких систем всегда имеет одинаковый характер.

Требование неизменности качественной картины разбиения на траектории, т. е. требование «грубости» системы, может быть

математически сформулировано следующим образом: система называется «грубой» (в области О), если для любого можно указать О такое, что при всевозможных аналитических функциях удовлетворяющих в области О неравенствам:

существует топологическое (т. е. взаимно-однозначное и взаимнонепрерывное) отображение области О в себя, при котором каждая траектория системы отображается в траекторию измененной системы и обратно, и при этом соответствующие друг другу точки находятся на расстоянии, меньшем

Приведем определение «грубых систем» без предположения, что граница области, в которой рассматривается динамическая система, является циклом без контакта. Введем сначала некоторую вспомогательную терминологию.

Пусть и -две замкнутые области. Мы скажем, что эти области -близки, если существует топологическое отображение этих областей друг на друга, при котором соответствующие друг другу точки находятся на расстоянии, меньшем

Предположим, что в двух -близких замкнутых областях определены соответственно динамические системы

Мы скажем, что разбиение замкнутой области на траектории системы тождественно разбиению замкнутой области на траектории системы если существует топологическое отображение на нереводящее траектории системы и траектории системы друг в друга, при котором соответствующие друг другу точки находятся на расстоянии; меньшем

Пусть система определена в области и пусть какая-нибудь замкнутая область, целиком (вместе с границей) содержащаяся в Система называется грубой в замкнутой области если для любого можно указать такое, что какую бы систему удовлетворяющую в области неравенствам (6.6), мы ни взяли, найдется содержащаяся в области замкнутая область разбиение которой на траектории системы -тождественно разбиению области на траектории системы

Таким образом, в случае, когда система грубая, разбиение на траектории области всякой измененной системы правые части которой вместе с их частными производными достаточно близки к правым частям системы (6.5), топологически тождественно разбиению на траектории, заданному системой и, кроме того, мало сдвинуто (меньше чем на по отношению к разбиению на траектории, заданному системой (при этом О может быть взято сколь угодно малым). В частности, например, очевидно, что при достаточно малом и надлежащем в -окрестности каждого состояния равновесия системы будет лежать одно и только

одно состояние равновесия системы и при этом того же характера, что и у системы и в -окрестности каждого предельного цикла системы один и только один предельный цикл системы

Переходя к установлению необходимых и достаточных условий грубости, сделаем одно весьма важное замечание: ограничения, которые требование грубости накладывает на рассматриваемые динамические системы, таково, что они выделяют «общий случай». Другими словами, всякая наперед заданная система, вообще говоря, является грубой, в то время как негрубые системы являются исключительными системами (ср. также § 5 настоящей главы).

В дальнейшем, говоря о системе сколь угодно близкой к системе сколь угодно малых добавках к правым частям системы или о сколь угодно малых изменениях динамической системы и т. д., мы всегда будем подразумевать малость не только самих функций но и их частных производных.