§ 6. Периодические движения

В рассмотренных нами динамических системах первого порядка единственными стационарными движениями были состояния равновесия. В них не было никаких периодических движений. Это понятно, так как мы ограничивались рассмотрением систем, движение которых подчинялось уравнениям первого порядка

с однозначными правыми частями (с однозначными функциями f(x)) - уравнениям, которые вообще не допускают периодических решений. Действительно, если бы такое периодическое движение происходило, то система должна была бы дважды проходить через одно и то же значение х в противоположных направлениях, т. е. с двумя различными значениями скорости что невозможно в силу однозначности функции

Периодические движения в системах первого порядка становятся возможными только в тех случаях, когда правая часть уравнения (4.1) — функция неоднозначна хотя бы на некотором интервале изменения х.

Примером может служить уравнение движения гармонического осциллятора с заданной полной энергией

или после приведения к виду (4.1)

которое, как известно, имеет периодическое решение

где произвольная постоянная. Заметим, что для этой системы первого порядка фазовой линией не может служить отрезок прямой где - заданная амплитуда колебаний, так как задание х еще не определяет однозначно скорости системы х (каждому значению х на интервале соответствуют два различных значения В качестве фазовой линии мы можем взять любую простую (без самопересечений) замкнутую кривую, например окружность (рис. 191). Каждому значению х соответствуют две точки окружности, что дает возможность установить взаимно однозначное и непрерывное соответствие точек этой окружности и состояний гармонического осциллятора с заданной энергией. Например, мы можем считать, что на верхней полуокружности и на нижней тогда задание точки окружности однозначно определяет т. е. однозначно определяет состояние системы.

Это положение является общим для динамических систем первого порядка: периодические движения возможны только в таких системах, фазовые линии которых имеют замкнутые участки (только такие фазовые линии допускают замкнутые фазовые траектории, соответствующие периодическим движениям). Поэтому неоднозначность правой части уравнения (4.1) на некотором интервале изменения х является необходимым условием существования периодических решений этого уравнения.

Ниже мы рассмотрим два примера физических систем, которые при определенных упрощающих предположениях относительно их свойств приводят к динамическим системам первого порядка с двузначной правой частью уравнения (4.1).

Рис. 191.