§ 4. Линейный осциллятор при наличии трения

Для ответа на те вопросы, для которых трение играет существенную роль, мы должны отказаться от одной идеальной черты нашего гармонического осциллятора — отсутствия трения, сохранив остальную идеализацию. Примем, что сила трения пропорциональна скорости. Это предположение также представляет собой идеализацию, а именно, идеализацию реальных законов трения, которая находится в удовлетворительном согласии с опытом, когда речь идет о жидком трении или трении о воздух при достаточно малых скоростях. Всякий иной закон трения нарушил бы линейность осциллятора, между тем мы пока ограничиваем наше рассмотрение только линейными системами.

Уравнение движения при сделанном предположении о законе трения напишется так:

где b - коэффициент трения, т. е. сила трения для скорости, равной единице. Электрическим аналогом такой механической системы с трением, пропорциональным скорости, является «томсоновский контур» с омическим сопротивлением. Такой контур подчиняется уравнению

где заряд на обкладках конденсатора, как обычно, — индуктивность, сопротивление и емкость.

Обозначая (или соответственно получим уравнения (1.14) и (1.15) в обычном виде

Решение этого уравнения, как известно, имеет вид

где корни квадратного уравнения:

Как известно, при эти корни действительные, а при — комплексные. В соответствии с этим в зависимости от знака мы получим два типа решений и два различных процесса: при затухающий осцилляторный процесс, при — затухающий апериодический процесс.