2. Орбитно-устойчивые и орбитно-неустойчивые (особые) траектории.

Перейдем теперь к рассмотрению особых и неособых траекторий и наряду с наглядными геометрическими фактами дадим

точные математические формулировки. При этом всюду в дальнейшем будем предполагать, что система (6.1) рассматривается в ограниченной области плоскости О. Будем рассматривать траекторию L, целиком лежащую в области Возьмем какую-нибудь положительную полутраекторию выделенную из траектории L и начинающуюся в точке и рассмотрим ее -окрестность. Отметим при этом, что -окрестность полутраектории непременно содержит -окрестность предельного множества этой полутраектории.

Мы скажем, что положительная полутраектория орбитно-устойчива, если при любом заданном можно указать такое что у всякой траектории проходящей через любую точку принадлежащую -окрестности полутраектория (точки которой соответствуют значениям целиком лежит в -окрестности полутраектории

Траектория L называется орбитно-устойчивой при или -орбитно-устойчивой, если всякая выделенная из нее положительная полутраектория орбитно-устойчива. Можно показать (геометрически это представляется очевидным), что если у траектории L хотя бы одна положительная полутраектория орбитно-устойчива, то всякая другая положительная полутраектория, выделенная из этой траектории, также будет орбитно-устойчивой, т. е. траектория L будет орбитно-устойчива при

Полутраектории или траектории, не являющиеся орбитно-устойчивыми при называются орбитно-неустойчивыми при или -орбитно-неустойчивыми. Очевидно, если траектория L орбитнонеустойчива при и какая-нибудь ее точка, то всегда можно указать такое что при любом сколь угодно малом найдется траектория L, проходящая при через точку -окрестности точки и заведомо выходящая при некотором из -окрестности полутраектории Отметим, что наличие орбитнонеустойчивых траекторий ни в коей мере не противоречил теореме о непрерывной зависимости от начальных значений, так как в этой теореме рассматривается лишь конечный промежуток значений

Все сказанное относительно положительной полутраектории с очевидными изменениями может быть повторено и относительно отрицательной полутраектории. Таким образом, мы будем также говорить о траектории, орбитно-устойчивой при или -орбитно-устойчивой, и о траектории, орбитно-неустойчивой при или -орбитно-неустойчивой. Будем называть траекторию L, орбитно-устойчивую как при так и при орбитноустойчивой или неособой. Всякую траекторию, не являющуюся орбитно-устойчивой, будем называть орбитно-неустойчивой или особой. Таким образом, особая траектория непременно

орбитно-неустойчива хотя бы в одну «сторону», т. е. она может быть орбитнонеустойчивой при или орбитно-неустойчивой при или орбитно-неустойчивой и при и при

Напомним при этом (см., например, гл. II, § 7), что траектория, являющаяся орбитно-устойчивой при может не быть устойчивой по Ляпунову при

Введенное таким образом понятие орбитной устойчивости и неустойчивости полутраектории и траектории характеризует поведение этой полутраектории или траектории не самой по себе, а по отношению к близким полутраекториям и траекториям. Поясним эти понятия на примерах траекторий, встречавшихся в рассмотренных выше динамических системах. Очевидно, всякая полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия типа узел или фокус, орбитноустойчива. Орбитно-устойчивыми будут и все полутраектории, стремящиеся к предельным циклам. Орбитно-устойчивыми, т. е. неособыми траекториями, очевидно, будут траектории, стремящиеся при к узлам или фокусам или при стремящиеся к узлу, а при к предельному циклу, а также траектории, стремящиеся к предельным циклам и при и при (все такие траектории орбитно-устойчивы и при и при

Из этих примеров нетрудно видеть, что в случае, когда траектория неособая (орбитно-устойчивая), все близкие к ней траектории ведут себя весьма похожим образом. Но это совершенно не имеет места для тех траекторий, которые мы выше причисляли к «особым». Начнем с состояний равновесия. Узлы и фокусы орбитноустойчивы или при или никогда не могут

быть орбитно-устойчивы и при и при седло орбитно-неустойчиво и при и Устойчивые и неустойчивые предельные циклы в отношении орбитной устойчивости ведут себя так же, как фокусы и узлы, т. е. могут быть орбитно-устойчивыми либо только при либо только при Полутраектории, стремящиеся к седлу (сепаратрисы седел), орбитно-неустойчивы. Действительно, если стремящаяся к седлу полутраектория, то всегда можно указать такое чтобы при любом полутраектории, отличные от самой проходящие через точки -окрестности точки при возрастании непременно выходили бы из -окрестности