§ 3. Обоснование метода Ван-дер-Поля

1. Обоснование метода Ван-дер-Поля для процессов установления

Для доказательства последнего утверждения, приведенного в конце предыдущего параграфа, относительно аппроксимирующих свойств выражения (9.9), полученного с помощью решения укороченных уравнений, нам, очевидно, достаточно доказать следующее предложение:

Пусть решение «полной» системы:

и решение системы укороченных уравнений:

удовлетворяющие одним и тем же начальным условиям: при тогда по заданным положительным может быть сколь угодно малым, сколь угодно большим) всегда можно найти такое достаточно малое чтобы

или

Прежде всего заметим, что укороченные уравнения (9.8) преобразованием времени (здесь так называемое «медленное» время) приводятся к виду:

поэтому их решение зависит только от «медленного» времени и от начальных условий при некотором Следовательно, задавая начальные значения и промежуток «медленного» времени мы тем самым задаем на плоскости некоторую конечную и

не зависящую от дугу фазовой траектории укороченных уравнений. Таким образом, наше предложение утверждает, что решение укороченных уравнений обладает указанными выше аппроксимирующими свойствами на любой заданной дуге фазовой траектории укороченных уравнений (на конечных интервалах изменения переменных

Для сокращения выкладок мы докажем сформулированное выше предложение для случая одного уравнения первого порядка:

для которого укороченное уравнение имеет вид:

Здесь функция периодическая по явно входящему (с периодом ), а

— ее среднее значение по (при любых фиксированных а). Заметим, что функцию можно представить в виде:

где, очевидно, функция, периодическая по (с периодом и имеющая среднее значение (также по при любых фиксированных а), равное нулю; таким образом, при любых

Доказательство для интересующего нас случая системы второго порядка (9.7а) (или для системы уравнений любого порядка, записанной в медленно меняющихся переменных) не отличается по идее от доказательства, которое будет проведено ниже.

Будем рассматривать решение «полного» уравнения (9.16) и решение укороченного уравнения (9.17), удовлетворяющие одному и тому же начальному условию:

Мы будем предполагать ниже, что на некотором интервале изменения а

и при любых функции и непрерывны, ограничены и, кроме того, удовлетворяют условиям Липшица, т. е. существуют положительные числа такие, что при любых в интервале (9.20) и любых выполняются неравенства:

Заметим, что последние два неравенства (9.21) заведомо выполнены, если в интервале (9.20) функции имеют непрерывные и ограниченные производные по а, в силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях функций.

Нам нужно доказать, что по любым заданным положительным числам сколь угодно мало) всегда можно подобрать такое достаточно малое чтобы для всех удовлетворяющих условию

выполнялось неравенство

На число накладывается только одно ограничение: должно быть таким, чтобы решение любых и при всех значениях удовлетворяющих неравенству не выходило за пределы выбранного ранее интервала (9.20), т. е. чтобы

при

Такое всегда можно выбрать, так как решение есть функция только Заметим, что и здесь, задавая начальное значение и промежуток «медленного» времени мы задаем на траектории укороченного уравнения некоторый отрезок конечной длины; таким образом, мы хотим доказать, что решение аппроксимирует (при достаточно малых решение а (0 на всем этом отрезке траектории укороченного уравнения, т. е. при конечных изменениях переменного а.

Для доказательства нашего предложения будем искать решение уравнения (9.16) методом последовательных приближений, взяв

за нулевое приближение Первое приближение мы найдем, подставляя в правую часть уравнения (9.16) и интегрируя:

Точно так же мы найдем второе приближение:

и вообще приближением будет:

Как известно, при выполнении условий существует и является единственным решением уравнения (9.16), удовлетворяющим начальному условию: а

Будем теперь последовательно оценивать разности Для первого приближения будем иметь:

Но

поэтому

Покажем ограниченность интеграла, стоящего в правой части полученного выражения. Обозначим через целую часть отношения т. е. число периодов подинтегральной функции (по явно входящему целиком укладывающихся на отрезке интегрирования

Тогда

в силу (9.19). Используя неравенства (9.21) и теорему Лагранжа о конечных приращениях функций, имеем:

следовательно,

а

так как

Таким образом,

где

т. е. эта разность является величиной порядка

Для того чтобы оценить заметим, что

Но

пользуясь последним из неравенств (9.21), имеем:

следовательно, мы будем иметь:

Далее,

Но

откуда

Продолжая дальше таким же образом, получим:

Так как есть решение уравнения (9.16), то мы будем иметь:

Однако все те оценки, которые мы делали, например использование неравенства (9.21), законны только до тех пор, пока мы можем ручаться, что все функции находятся внутри указанных нами границ, т. е. до тех пор, пока

при

Посмотрим, выполняется ли это. Очевидно, в силу неравенства (9.22) существует такое число что

при любых удовлетворяющих условию

Переходя к на основании (9.26) имеем (для тех же значений

откуда следует, что для выполнения неравенства (9.31) для достаточно, чтобы

Далее,

т. е. для того, чтобы было меньше достаточно взять

Продолжая таким же образом дальше, нетрудно видеть, что все проведенные оценки законны, если

Очевидно, что сколь бы мало ни было мы всегда можем указать такое чтобы мы имели:

и

для всех удовлетворяющих неравенству . С этой целью нам достаточно выбрать меньше наименьшего из чисел

Этим наше предложение доказано.

Совершенно так же и при аналогичных предположениях относительно свойств правых частей уравнений доказывается теорема, сформулированная в начале параграфа для системы второго порядка (9.7а). Сделав переход от медленно меняющихся переменных а, b к переменным х, у, мы, очевидно, сможем утверждать следующее:

Пусть в некоторой области А (например, внутри круга некоторого радиуса R с центром в начале координат) функция в уравнениях

непрерывна, ограничена и удовлетворяет условиям Липшица (или имеет непрерывные и ограниченные производные по пусть приближенное решение

или решения укороченных уравнений (9.8) или соответственно и решение системы уравнений (9.2) удовлетворяют одним и тем же начальным условиям:

тогда по любим заданным положительным всегда можно найти такое достаточно малое чтобы

при всех удовлетворяющих условию

(т. e. при конечных изменениях медленно меняющихся переменных или