3. Условие устойчивости предельного цикла.

Найдем теперь, основываясь на теореме Кенигса, условие устойчивости предельного цикла на фазовой плоскости, выраженное через правые части уравнений динамической системы:

Пусть предельный цикл системы (5.1), параметрическими уравнениями которого являются

периодические функции с периодом

Введем в окрестности этого предельного цикла новую, криволинейную систему координат (рис. 249), полагая

Рис. 249.

Прямые являются нормалями к предельному циклу, а кривые замкнутыми кривыми (кривая совпадает с предельным циклом Якобиан рассматриваемого преобразования координат

при всех и достаточно малых (в силу того обстоятельства, что ни в одной точке предельного цикла не обращается в нуль, мы можем выбрать такие положительные числа а и А, чтобы при любых и и при якобиан Поэтому в кольцевой области, ограниченной замкнутыми кривыми

и и содержащей в себе предельный цикл не могут пересекаться между собой ни отрезки нормалей ни замкнутые кривые и каждой точке плоскости (в этой области) соответствует единственная пара чисел — криволинейных координат

Перейдем в уравнениях (5.1) в кольцевой области к новым переменным Мы будем иметь:

Разрешая относительно и получим:

или после деления одного из уравнений на другое:

Принимая во внимание тождества

нетрудно убедиться в том, что знаменатель правой части уравнения (5.56) не обращается в нуль при а следовательно, и в некоторой окрестности предельного цикла (в том, что предельный цикл является интегральной кривой уравнения (5.56), нетрудно убедиться прямой подстановкой в это уравнение). Кроме того, правая часть этого уравнения, очевидно, есть периодическая функция и с периодом

Возьмем в качестве отрезка без контакта L отрезок нормали (очевидно, тот же отрезок будет соответствовать и и вообще где целое число) и обозначим через

решение уравнения (5.56), удовлетворяющее начальному условию: при уравнение фазовой траектории, проходящей через некоторую точку отрезка . В силу теоремы о непрерывной зависимости решений уравнений (5.1) или уравнения (5.56) от начальных условий, всякая фазовая траектория, пересекающая

отрезок L в достаточно малой окрестности точки пересечения с ним предельного цикла (эту точку мы будем обозначать через пересечет этот отрезок еще раз при близком к (соответствующее так как вблизи предельного цикла близко к единице). Поэтому координата последующей точки пересечения траектории (5.58) с отрезком L, очевидно, определится соотношением

Эта функция последования, существующая в некоторой окрестности точки определяет точечное преобразование отрезка L самого в себя (в той же окрестности), причем, конечно, точка является неподвижной точкой.

Устойчивость неподвижной точки (а следовательно, и устойчивость предельного цикла определяется, очевидно, величиной Покажем, как можно найти значение зная функции и Как мы уже видели, знаменатель правой части уравнения (5.56) не обращается в нуль в некоторой окрестности предельного цикла (при Поэтому в этой окрестности правая часть уравнения (5.56) является аналитической функцией и может быть представлена в виде ряда по степеням тогда

(коэффициенты ряда суть периодические функции и с периодом Воспользовавшись тождествами (они получаются дифференцированием тождеств (5.57)), нетрудно подсчитать, что

С другой стороны, так как решения уравнений с аналитическими правыми частями являются аналитическими функциями начальных условий (см. Дополнение I), то решение (5.58) есть аналитическая функция и может быть разложено в ряд по степеням

(свободный член равен нулю, поскольку значению соответствует предельный цикл Для нахождения функций подставим этот ряд в уравнение (5.56а) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях Тогда мы получим:

и

Интегрируя эти рекуррентные дифференциальные уравнения при начальных условиях:

(последние получаются из очевидного тождества: можно найти коэффициенты разложения функции В частности

и, следовательно,

(в силу того, что функции и а значит и их производные, суть периодические функции с периодом

Таким образом, рассматриваемый предельный цикл устойчив, если его характеристический показатель

и неустойчив, если

(ибо в первом случае а во втором ).