ДОПОЛНЕНИЕ I. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В настоящем дополнении без доказательств формулируются те основные предложения, касающиеся дифференциальных уравнений, которые использованы в тексте книги. Доказательство этих теорем читатель может найти, например, в [103, 113, 129].

Пусть дана система дифференциальных уравнений:

( любое целое число), где функции определены в некоторой открытой области R, непрерывны в этой области и имеют непрерывные частные производные по Это требование, во всяком случае, выполнено, когда правые части — аналитические функции переменных

Теорема I (о существовании и единственности решения).

Какую бы точку области R мы ни взяли, существуют содержащий интервал значений и одна и только одна система функций

определенная на этом интервале, для которой удовлетворяются следующие условия:

б) при всех точка принадлежит области

в) при всех т. е. система функций удовлетворяет системе дифференциальных уравнений ;

г) какую бы замкнутую область целиком лежащую в области R, мы ни взяли, найдутся значения

такие, что точки лежат вне

Можно показать, что интервал значений фигурирующий в теореме I, в силу условия г) является «максимально возможным интервалом определения решения» в следующем смысле: не существует интервала значений содержащего интервал на котором были бы определены функции удовлетворяющие условиям а), б) и в) настоящей теоремы, и, следовательно, совпадающие на интервале с функциями

Условие г), которое характеризует тот факт, что интервал является максимально возможным, часто выражают также следующими словами: «решение системы может быть продолжено до границы области

В настоящей книге под решением системы вида всегда подразумевается решение, определенное на максимально возможном промежутке значений При этом, в настоящей книге решение обычно бывает определено при всех значениях т. е. при значениях в интервале —

В пространстве функции определяют интегральную кривую. В силу теоремы I через каждую точку области R проходит одна и только одна интегральная кривая.

Для того чтобы в явной форме отметить тот факт, что решение зависит от начальных значений его записывают также в виде:

По самому смыслу этой записи мы, очевидно, имеем:

Если рассматриваются как произвольные параметры (но, очевидно, такие, что точка принадлежит области то систему функций называют общим решением. Если фиксированы, то систему функций называют частным решением или просто решением (так что «решение» и частное решение имеют один и тот же смысл). Для него имеет место следующая теорема.

Теорема непрерывной зависимости от начальных значений).

Пусть

— какое-нибудь решение системы определенное при всех значениях и пусть и любые числа, принадлежащие этому интервалу, причем Тогда при любом можно

указать такое что для всех для которых

решение

определено при всех значениях и при всех этих значениях выполняются неравенства:

Теорема III.

Если функции в правых частях системы имеют непрерывные частные производные по переменным то функции

имеют непрерывные частные производные по переменным Эти частные производные вместе с самими функциями удовлетворяют системе дифференциальных уравнений следующего вида:

В случае, когда правые части системы аналитические функции своих переменных, справедлива следующая теорема. Теорема IV.

Если функции аналитические функции переменных то функции

являются аналитическими функциями своих аргументов в окрестности всякой системы значений, для которой они определены.

Теоремы I—IV, в частности, используются при рассмотрении функции последования. Именно, принимая во внимание метод построения функции последования, нетрудно видеть в случае, когда правые части динамической системы — аналитические функции, что в силу теоремы IV функция последования тоже является аналитической функцией. В случае, когда правые части имеют непрерывные производные по х и у, из теорем 1, И и 111 следует, что функция

последования непрерывна и имеет непрерывную производную (см. § 7 гл. V).

Предположим, что наряду с системой

рассматриваемся «измененная» система

где функции, определенные в той же области R, что и функции непрерывные в этой области и имеющие непрерывные частные производные по переменным

В частности, предположим, что правые части заданной системы зависят от некоторого параметра т. е. система имеет вид:

Пусть эта система рассматривается при некотором частном значении т. е. рассматривается система

и наряду с пей система рассматривается при каком-нибудь не равном значении Мы можем считать в этом случае, что система при является измененной системой по отношению к системе и можем считать, что система имеет вид:

где

Теорема V (о непрерывной зависимости решения от изменения правой части и начального значения).

Пусть

— решение системы определенное при всех значениях

и пусть и какие-нибудь числа, удовлетворяющие неравенству Тогда при любом существует такое, что при условии:

в области R и

решение системы соответствующее начальным значениям

определено при всех значениях и при всех этих значениях выполняются неравенства

Следствие. Если правые части рассматриваемой системы непрерывные функции параметра то и в решении этой системы

функции непрерывные функции

Предположим, что функции имеют непрерывные частные производные по переменным Тогда в силу теоремы III в решении системы и в решении системы функции имеют частные производные по

Пусть решение системы определено при значениях и пусть какие-нибудь числа, удовлетворяющие неравенствам Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема VI.

Для всякого существует такое, что если в области

то решение системы

определено при всех значениях в интервале и при этих значениях выполняются неравенства

Если правые части рассматриваемой динамической системы

и производные непрерывные функции решение системы, то производные

тоже являются непрерывными функциями

Рассмотрим еще случай, когда у системы

правые части являются аналитическими функциями всех аргументов. Для такой системы справедлива следующая теорема.

Если функции аналитические функции своих аргументов, то и функции

также являются аналитическими функциями всех своих аргументов в окрестности всякой системы значений для которой они определены.

Следствие. Пусть для значений решение определено для всех в интервале и пусть и какие-либо значения, такие, что Тогда функции

могут быть разложены в ряд по степеням сходящийся для всех и удовлетворяющих неравенствам

и при всех

где некоторая постоянная, не зависящая от выбора значений и удовлетворяющих неравенствам При этом коэффициенты этих рядов являются аналитическими функциями при всех в интервале