2. Колебания в схеме с неоновой лампой.

В качестве второго примера динамической системы с 1/2 степени свободы, колебания

которой описываются дифференциальным уравнением первого порядка (4.1) с двузначной правой частью, мы рассмотрим схему релаксационного генератора с неоновой лампой (рис. 195). Подобная схема рассматривалась Ван-дер-Полем, Фридлендером и др. [152, 153, 188, 146, 143].

Рис. 195.

При рассмотрении этой схемы мы не будем учитывать никаких паразитных параметров элементов схемы и будем считать, что сила тока через неоновую лампу является функцией напряжения и на ней и определяется статической характеристикой лампы В результате этого мы придем к динамической системе с 1/2 степени свободы, описываемой нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка:

или

Нелинейность этой схемы обусловлена присутствием в ней неоновой лампы, для которой связь между током и напряжением и не определяется законом Ома, а выражается нелинейной зависимостью имеющей гистерезисный характер. Наиболее типичные черты статической характеристики неоновой лампы, которые играют существенную роль в рассматриваемых нами процессах и которые мы будем учитывать, таковы: при малых напряжениях лампа совсем не пропускает тока («не горит»), ток в лампе возникает только при определенном напряжении напряжении зажигания. При этом сразу устанавливается некоторая сила тока отличная от нуля. При дальнейшем увеличении напряжения и сила тока возрастает по закону, близкому к линейному. При уменьшении напряжения, когда напряжение достигает значения (при «горящей» лампе), лампа еще не гаснет. При дальнейшем уменьшении и сила тока через лампу

постепенно уменьшается, наконец, лампа сразу гаснет при некотором напряжении напряжении гашения и при токе причем Все эти существенные для рассматриваемого генератора с неоновой лампой черты статической характеристики передаются кривой, изображенной на рис. 196, а.

Конечно, в действительности цепь неоновой лампы обладает некоторой малой паразитной самоиндукцией и установление газового разряда требует малого, но все же конечного промежутка времени; поэтому изменение тока через неоновую лампу не может совершаться мгновенно.

Рис. 196.

Но поскольку мы пренебрегаем этими факторами, мы будем считать, что ток через неоновую лампу при ее зажигании и гашении изменяется от до и от до мгновенно, скачком.

В то же время, несмотря на скачки тока, напряжение и изменяется непрерывно, так как скачкообразные изменения этого напряжения связаны с бесконечными токами (ток заряда конденсатора и напряжениями, что мы считаем в нашей схеме невозможным. Поэтому изменения тока через неоновую лампу при ее зажигании (при и при ее гашении (при ) происходят так, как указано на рис. 196, а стрелками. Пунктирный участок статической характеристики неоновой лампы, «мимо» которого проскакивает изображающая точка, обычно не осуществляется в статическом режиме из-за его неустойчивости. Характеристика, приведенная на рис. 196, а, в основных чертах совпадает с той характеристикой, которая может быть снята экспериментально.

Состояния равновесия системы определяются из условия т. е. из уравнения

Чтобы найти корни этого уравнения, строим кривую и прямую и находим их точки пересечения. В том случае, когда когда напряжение батареи больше напряжения зажигания лампы (а мы этим одним случаем и ограничим наше рассмотрение), существует только одна точка пересечения статической характеристики и «нагрузочной» прямой причем положение этой точки пересечения зависит от значений параметров (рис. 196, б). Устойчивость этого состояния равновесия и определяется, как мы уже знаем, знаком Легко убедиться, что если состояние равновесия лежит на восходящем участке характеристики, то оно устойчиво, если же оно лежит на падающем участке, то неустойчиво. Следовательно, для каждого мы можем, увеличивая R, перейти от устойчивого состояния равновесия к неустойчивому, причем чем больше тем больше должно быть то критическое сопротивление при котором точка пересечения переходит на нижний, падающий участок характеристики, и единственное состояние равновесия становится неустойчивым.

Ограничимся рассмотрением колебаний в схеме с неоновой лампой, начинающихся из таких начальных состояний, для которых точка изображающая состояние неоновой лампы, лежит или на участке или на восходящем участке статической характеристики. В этом случае мы можем совсем не принимать во внимание падающего участка характеристики, так как неоновая лампа

Рис. 197.

никогда не придет в состояния, изображаемые точками этого падающего участка.

Тогда ток через неоновую лампу будет двузначной функцией напряжения и на интервале и однозначной вне этого интервала (рис. 197, а). В соответствии с этим, как и в предыдущей задаче, фазовой линией будет линия «с наложением» (рис. 197, б), состоящая из двух полупрямых первая из которых соответствует состояниям системы с погашенной, а вторая — состояниям с горящей неоновой лампой. При этом переход изображающей точки с одной полупрямой на другую (зажигание и гашение неоновой лампы) происходит соответственно при т. е. в концевых точках этих полупрямых. Поскольку фазовая линия допускает единственную замкнутую фазовую траекторию абвга, в нашей системе возможен только единственный периодический процесс.

Рис. 198.

При помощи этой фазовой линии легко проследить за движением системы в разных случаях. В том случае, когда R достаточно мало и положение равновесия устойчиво (оно лежит при на полупрямой (II)), сразу после присоединения лампы к конденсатору она вспыхнет, и после этого напряжение на лампе и ток через нее начнут уменьшаться. Скорость изменения напряжения на зажимах лампы будет определяться параметрами схемы, т. е. уравнением (4.30), но во всяком случае она будет конечной. Уменьшение напряжения и будет продолжаться до тех пор, пока не будет достигнуто устойчивое состояние равновесия (рис. 198), в котором схема и останется (строго говоря, будет иметь место асимптотическое при приближение системы к этому состоянию равновесия).

Если же R настолько велико, что на полупрямой (II) нет состояния равновесия (напомним, что в этом случае состояние равновесия лежит на падающем участке характеристики лампы и неустойчиво), то теперь на всей полупрямой поскольку на полупрямой в схеме после первого же зажигания или

гашения неоновой лампы установится периодический, процесс, изображаемый на фазовой линии замкнутой фазовой траекторией абвга или замкнутой кривой на плоскости Участок этой замкнутой фазовой траектории соответствует процессу заряда конденсатора С через сопротивление R при погашенной лампе, участок разряду конденсатора через горящую неоновую лампу.

Осциллограммы колебаний, т. е. вид кривых и даны на рис. 200. Вид этих кривых вначале, до установления периодического процесса, зависит от начальных условий. Так, например, если в начальный момент (схема включается путем замыкания ключа на рис. 201; ключ был замкнут раньше), то характер установления будет таким, как это изображено на рис. 202. Если же в начальный момент (ключ замкнут и схема включается замыканием ключа на рис. 201), то характер установления будет иной, изображенный на рис. 203.

Рис. 199.

Рис. 200.

Мы нарисовали качественную картину автоколебаний в схеме с неоновой лампой. Для того чтобы определить их количественные характеристики (период, амплитуду, вид осциллограмм), нужно задаться конкретным видом нелинейной функции Проведем вычисления для кусочно-линейной функции график которой

состоит из прямолинейных отрезков (рис. 204).

Рис. 201.

Рис. 202.

Пусть устойчивые участки статической характеристики лампы (падающего участка характеристики мы не будем рассматривать) заданы уравнением на полупрямой (I) (при погашенной лампе),

постоянные имеющие соответственно размерности напряжения и сопротивления, характеризуют свойства горящей лампы).

Рис. 203.

Рис. 204.

Начнем рассмотрение с того момента, когда лампа погасла и изображающая точка находится в положении а (рис. 204). На участке (лампа не горит, имеем следующее уравнение движения:

Так как то напряжение и на конденсаторе будет увеличиваться при и через некоторый интервал времени достигнет напряжения зажигания Поскольку решением уравнения (4.32), удовлетворяющим начальному условию при

является определяется соотношением

или

После того как лампа вспыхнет, уравнение движения примет вид

Вводя обозначение приведем это уравнение к виду

Пусть что имеет место при

Тогда при напряжение на конденсаторе будет уменьшаться, так как ток разряда конденсатора через горящую неоновую лампу при всегда больше тока заряда через сопротивление через некоторый промежуток времени конденсатор разрядится до напряжения и лампа погаснет. Решение уравнения (4.35) при начальном условии при таково:

Подставляя при и разрешая относительно получим:

или, приняв во внимание, что

Период автоколебаний равен

Таким образом, мы получили аналитические выражения как для периода автоколебаний, так и для определения формы осциллограммы. Осциллограмма автоколебаний напряжения на конденсаторе С состоит из кусков экспонент (см. уравнения (4.33) и (4.37)) и по форме весьма отлична от синусоидальной. Период автоколебаний пропорционален емкости конденсатора С и зависит более сложным образом от остальных параметров схемы и неоновой лампы. На рис. 205 изображена качественная зависимость периода автоколебаний от напряжения батареи при постоянных прочих параметрах. Автоколебания существуют только при При приближающемся как к так и к первом случае к бесконечности стремится во втором

Рис. 205.

В заключение еще раз напомним, что рассмотренная нами динамическая система первого порядка удовлетворительно отражает процессы в схеме релаксационного генератора с неоновой лампой только при достаточно больших емкостях С, т. е. при не очень быстрых колебаниях, при которых не сказывается инерционность ионных процессов в неоновой лампе.