§ 2. Качественный характер кривых на плоскости t, x в зависимости от вида функции f(x)

Предположим, что функция, аналитическая для всякого значения х. Посмотрим, какие существуют при этом возможные решения. Пусть уравнение не имеет действительных корней. Тогда сохраняет все время один и тот же знак, и все решения суть монотонные функции, возрастающие или убывающие от Пусть уравнение имеет действительные корни которые, очевидно, соответствуют состояниям равновесия. Соответствующие интегральные кривые на плоскости прямые, параллельные оси и разбивающие плоскость на полосы. Так как интегральные кривые не могут пересекаться

(в силу теоремы Коши), то каждая интегральная кривая должна целиком заключаться в одной из таких полос и, следовательно, быть монотонной, так как внутри полосы не меняет знака. Более того, нетрудно видеть, что если интегральная кривая заключена в полосе между двумя параллельными оси прямыми являющимися решениями нашего дифференциального уравнения, то она асимптотически приближается к одной из этих прямых при к другой при Если же интегральная кривая заключена в части плоскости, ограниченной такой прямой, параллельной оси только с одной стороны, то эта интегральная кривая либо при возрастании либо при убывании уходит в бесконечность; в другую же сторону она стремится к граничной прямой.

Таким образом, зная нетрудно выяснить качественный характер кривых на плоскости

Очевидно, что эти кривые, если только аналитическая функция, не могут быть периодическими, так как они монотонны. Это замечание впоследствии окажется существенным.