§ 3. Примеры линейных систем
Для иллюстрации всего сказанного выше относительно типов состояний равновесия линейных систем мы рассмотрим две схемы, которые при соответствующих упрощающих предположениях описываются линейными дифференциальными уравнениями и в которых путем изменения параметров может быть получен любой тип равновесных состояний.
1. Малые колебания динатронного генератора.
Эту схему мы уже рассматривали в гл. I (§ 7, п. 2) как пример системы с «отталкивающей» (при 
силой. Рассмотрим теперь малые колебания вблизи состояния равновесия динатронного генератора, когда рабочая точка лежит на падающем участке характеристики тетрода. Для этой схемы было получено (см. уравнение 
следующее линейное дифференциальное уравнение второго порядка:
или, если ввести безразмерное время 
где 
и безразмерные параметры 
(здесь точкой вверху обозначено дифференцирование по новому безразмерному времени).
Корни характеристического уравнения
а следовательно, и тип рассматриваемого состояния равновесия зависят от параметров схемы 
Для отображения этой зависимости мы построим на плоскости этих двух безразмерных параметров (в ее первой четверти) области, соответствующие различным типам состояния равновесия динатронного генератора на падающем участке характеристики (рис. 224).
Рис. 224.
При 
над гиперболой 
корни характеристического уравнения (5.26) действительны и разных знаков, т. е. состояние равновесия является седлом. Корни характеристического уравнения комплексны при
т. е. под прямой 
лежит область значений параметров, при которых состояние равновесия — фокус. В области значений параметров между этой прямой и гиперболой 
состояние равновесия — узел. Устойчивость узла или фокуса, как мы видели, определяется знаком коэффициента характеристического уравнения при 
в первой степени: именно, при 
узел или фокус устойчив, а при 
неустойчив. Таким образом, отрезок прямой 
до пересечения с гиперболой 
и затем участок гиперболы справа от этой точки пересечения составляют границу области устойчивости генератора. Если состояние равновесия неустойчиво, то динатронный генератор уйдет из окрестности этого состояния равновесия. Однако, пользуясь линейным уравнением, мы ничего не сможем сказать о режимах, которые установятся в генераторе.
