§ 1. Теорема существования и единственности

Рассмотрим плоскость Решениями нашего уравнения являются кривые на плоскости Эти кривые мы также будем называть интегральными кривыми (их не следует, однако, смешивать с фазовыми траекториями и интегральными кривыми на фазовой плоскости).

Пусть нам даны начальные условия: при или, иначе, пусть на плоскости дана точка с координатами Если для уравнения (4.1) выполнены условия теоремы Коши (например, если функция является аналитической на некотором интервале, включающем то имеется единственное решение уравнения (4.1), удовлетворяющее этим начальным условиям, или, иначе, через точку ) проходит единственная интегральная кривая.

Рис. 157.

Эта интегральная кривая продолжается во всяком случае до тех пор, пока не дойдет до того значения, при котором неголоморфна. Если функция аналитическая на всей прямой, то решение продолжаемо до тех пор, пока не уходит в бесконечность. Если же не уходит в бесконечность, то решение продолжаемо от Даже тогда, когда существуют точки нарушения голоморфизма, возможны случаи продолжаемости решения от до В этих случаях решение, например, протекает между двумя прямыми, параллельными оси ординаты которых являются точками нарушения голоморфизма для функции (рис. 157).

Резюмируя, можно сказать следующее. Вся плоскость может быть разбита на полосы, границы которых представляют собой прямые, параллельные оси такие, что их ординаты являются точками нарушения голоморфизма функции В каждой такой полосе через каждую точку проходит единственная интегральная кривая. Эти кривые аналитические и не пересекаются друг с другом внутри полосы.

Рис. 158.

Из сформулированной теоремы мы ничего не можем заключить о том, что происходит на границах этих полос. Там может быть как непрерывный переход интегральной кривой через границу, так и всевозможные случаи нарушения непрерывности.

Рассмотрим пример, имеющий физический интерес, когда условия теоремы Коши не выполнены. Именно, рассмотрим равноускоренное падение тела массы с ускорением в случае, когда начальная скорость равна нулю (рис. 158).

На основании закона сохранения энергии имеем:

откуда, беря корень с положительным знаком (мы ограничиваемся рассмотрением движения в одном направлении), получим дифференциальное уравнение:

Найдем решение этого уравнения, соответствующее начальным условиям Нетрудно видеть, что при этом значении х функция неголоморфна, так как производная обращается в бесконечность при следовательно, в этой точке не существует разложения в ряд Тейлора. Таким образом, на плоскости вдоль прямой условия теоремы Коши не соблюдены. Отсюда мы можем заключить, что в точках этой прямой возможны, случаи неединственности решений, случаи несуществования и т. д.

В рассматриваемом примере можно решить этот вопрос непосредственным интегрированием. Именно, уравнение (4.2) имеет при рассматриваемых начальных условиях решение:

(заметим, что у этих парабол мы должны рассматривать только их

правые от оси симметрии части, так как О в силу условия, наложенного на знак корня).

Кроме этого решения уравнение имеет еще одно решение, удовлетворяющее тем же начальным условиям:

Это решение может быть получено по обычным правилам как огибающая семейства парабол с переменным параметром Таким образом, мы видим (рис. 159), что через каждую точку прямой проходит не одна, а две интегральные кривые, т. е. условия единственности решения нарушены.

Рис. 159.

Нетрудно указать физический смысл неединственности решения. Мы исходили при исследовании падения тела не из ньютоновского закона движения а из закона сохранения энергии. С точки зрения закона сохранения энергии тело может при выбранных нами начальных условиях как падать равноускоренно, так и находиться в покое. Этим еще раз иллюстрируется, даже для случая одной степени свободы, хорошо известное обстоятельство, что закон сохранения энергии является недостаточным для установления законов движения.