§ 5. Осциллятор с малой массой

1. Линейные системы с 1/2 степени свободы.

Рассматривая линейный осциллятор при наличии трения, мы предполагали, что все три параметра осциллятора — масса (индуктивность), коэффициент трения (сопротивление) и коэффициент упругости (величина, обратная емкости) — играют одинаково существенную роль и заметно влияют на свойства и поведение системы. В тех случаях, когда трение мало, можно, как мы уже указывали, вовсе не учитывая влияния трения на движения в системе, ответить на некоторые вопросы, для которых трение играет второстепенную роль. Если же трение

велико, то может встретиться другой случай, когда вследствие своей малости играет второстепенную роль один из двух других «колебательных» параметров системы — масса или коэффициент упругости (индуктивность или величина, обратная емкости).

Мы рассмотрим движение тела малой массы в сильно сопротивляющейся среде под действием пружины (этот случай представляет наибольший интерес для рассмотрения в дальнейшем так называемых «разрывных» колебаний). Дополнительно к тем предположениям, которые мы делали при постановке задачи о линейном осцилляторе с трением, мы пренебрежем массой движущегося тела. Тогда уравнение движения запишется в виде дифференциального уравнения первого порядка:

(здесь, как и раньше, смещение относительно положения равновесия, положительные коэффициенты упругости и трения). Таким образом, в рассматриваемом случае мы пришли к системе с степени свободы. Для однозначного определения состояния такой системы достаточно задания одной величины (например, координаты х) вместо двух величин, необходимых для определения состояния систем с одной степенью свободы. Соответственно, для системы с степени свободы фазовое пространство является одномерным и представляет собой не плоскость, а линию.

Решение уравнения (1.47), как известно, имеет вид:

или, если ввести начальное условие при

Очевидно, является состоянием равновесия; при всех других начальных условиях осциллятор без массы совершает апериодически затухающие движения, приближаясь (при к состоянию равновесия.

Ту же картину мы получим и при рассмотрении движения изображающей точки по фазовой линии — прямой х (рис. 30). Начало

координат является состоянием равновесия; изображающая точка из других состояний двигается по направлению к состоянию равновесия (так как справа от него и слева

Системами с степени свободы являются и электрические контуры, состоящие из сопротивления и емкости RС-контур, рис. 31) или из сопротивления и индуктивности RL-контур, рис. 32).

Рис. 30.

Рис. 31.

Рис. 32.

Это, конечно, также идеализированные системы, к которым мы приходим, отправляясь от соответствующих реальных электрических контуров, но учитывая из всего многообразия свойств и качеств этих контуров только некоторые основные, существенные для рассматриваемого круга вопросов, и пренебрегая, в частности, малыми (паразитными) индуктивностями или емкостями тех или иных элементов, составляющих контуры. Уравнения движения для таких контуров могут быть записаны в виде

для RС-контура (у — заряд конденсатора) и

для RL-контура сила тока в контуре). Их решениями, очевидно, являются:

Встает вопрос, насколько «законно» или целесообразно принятое нами представление рассматриваемых физических систем в виде систем с степени свободы, насколько точно дифференциальные уравнения первого порядка (1.47), (1.49) и (1.50) и их решения отображают движения этих реальных физических систем. Само собой разумеется, что сейчас идет речь только о тех движениях физических систем, которые начинаются из состояний, совместимых (с известной степенью точности) с уравнениями движения соответствующих систем с степени свободы. Ответ на этот вопрос мы

можем получить, сравнивая результаты, полученные решением уравнений (1.47), (1.49) или (1.50), с экспериментальными данными. Такое сравнение показывает целесообразность, «законность» применения систем с степени свободы для отображения движений соответствующих физических систем.

Мы покажем сейчас аналитически, что, например, учет малой массы осциллятора не дает ничего существенно нового, т. е. что масса, если она достаточно мала, не является существенным параметром в рассматриваемой задаче. Учтем малую массу осциллятора и сравним решение более «полного» уравнения осциллятора с малой массой

где мало, но отлично от нуля, с решением уравнения первого порядка (1.47). Задаваясь начальными условиями имеем, согласно (1.40), решение в виде:

где

Для удобства сопоставления заменим точное решение (1.51) уравнения (1.14) приближенным решением таким, что разность между и их производными могла быть сделана сколь угодно малой (равномерно относительно за счет выбора достаточно малого

Пользуясь разложением корня

без труда получаем:

Можно показать, что это приближенное решение аппроксимирует точное решение в том смысле, что, сколь бы ни было мало всегда можно найти столь малое что

для всех значений в интервале

Сравним теперь (1.48) и (1.52). Обозначая решение уравнения первого порядка через х и принимая, что начальные значения координаты для решений полного уравнения и уравнения первого порядка совпадают, имеем:

и для скоростей

Так как сейчас мы рассматриваем только те движения, которые начинаются из состояний, совместных (с некоторой степенью точности) с уравнением (1.47), т. е. для которых или близко к нулю, то, как это сразу видно из соотношений (1.53) и (1.54), разности а следовательно и разности могут быть сделаны сколь угодно малыми за счет выбора достаточно малого и притом равномерно относительно (для всех Условием близости решений (1.48) и (1.51), очевидно, является выполнение неравенства:

Иными словами, если начальное состояние системы совместно с уравнением первого порядка (1.47) (или близко к состоянию, совместному с этим уравнением), то последнее достаточно точно (тем точнее, чем меньше масса) отображает движение осциллятора с малой массой. Учет массы в этом случае дает лишь небольшие количественные поправки, не давая ничего существенно нового; масса осциллятора, если она достаточно мала, не является существенным параметром, и представление осциллятора с малой массой в виде системы с степени свободы, в виде системы без массы, является вполне целесообразным.