§ 8. Схема Фрюгауфа

Рассмотрим теперь схему релаксационного генератора, предложенную Фрюгауфом [155, 142]. В этой схеме (рис. 548) существенную роль играет то обстоятельство, что сами лампы образуют участки замкнутых цепей и что поэтому нужно принимать во внимание

распределение напряжений между лампами и сопротивлениями Это сведется к тому, что мы должны будем учитывать анодную реакцию, которая в этой схеме играет принципиальную роль. Поэтому мы при рассмотрении схемы Фрюгауфа будем считать, что анодный ток есть функция не только сеточного, но и анодного напряжения. Именно, мы будем полагать, что анодный ток лампы является однозначной и монотонно возрастающей функцией так называемого «управляющего» напряжения

где проницаемость лампы — величина, обратная коэффициенту усиления лампы Кроме того, ниже мы будем полагать эту функцию такой, что обратная ей функция

является также однозначной.

Рис. 548.

1. «Вырожденная» модель.

Пренебрегая всеми паразитными параметрами (в частности, паразитными емкостями) и сеточными токами и считая лампы идентичными, мы получим следующую систему уравнений, описывающих колебания в схеме:

где соответственно сеточные и анодные напряжения на лампах и (отсчитываемые относительно катодов этих ламп).

Введем безразмерные токи:

где ток насыщения или какой-либо другой масштаб силы тока. Тогда

где

— безразмерная (обратная) характеристика лампы, дающая зависимость безразмерного управляющего напряжения от безразмерного анодного тока напряжение на конденсаторе С

используя (10.35) и разрешая относительно производных, имеем:

где

Из полученных уравнений видно, что мы имеем дело с системой первого порядка (с системой с степени свободы), поскольку переменные х и у связаны между собой в силу (10.35) соотношением

а уравнения (10.36) эквивалентны друг другу (одно из них является следствием другого и соотношения (10.37)).

В силу трудности исключения у или и полной равноправности переменных х и у мы будем отображать колебания системы движением изображающей точки по фазовой линии Ф:

построенной на плоскости х, у (точнее, в ее квадранте . Эта фазовая линия, равно как и разбиение ее на траектории уравнений (10.36), симметрична относительно биссектрисы Далее, на ней

т. е. у убывает с возрастанием так как поэтому, если является непрерывной функцией, что мы будем предполагать, то фазовая линия является всюду гладкой кривой и не может быть замкнутой. Соответственно рассматриваемая нами схема не может совершать непрерывных периодических колебаний, так как правые части уравнений (10. 36) являются однозначными функциями точки фазовой линии

Рассмотрим движение изображающей точки по фазовой линии Прежде всего отметим, что уравнения (10. 36) имеют единственное состояние равновесия лежащее на биссектрисе и определяемое согласно (10.37) уравнением:

Далее, согласно уравнениям (10.36) изображающая точка движется по линии по направлению к состоянию равновесия в тех точках линии где и в направлении от этого состояния равновесия там, где Поэтому состояние равновесия схемы устойчиво, если и неустойчиво, если

Построим на плоскости х,у симметричную относительно биссектрисы кривую

которую мы будем называть ради сокращения кривой Если эта кривая существует, то могут представиться два случая:

1) Параметр таков, что фазовая линия не пересекает кривую Тогда на всюду и изображающая точка (а следовательно, и рассматриваемая схема) при любых начальных условиях приближается при возрастании к состоянию равновесия

2) Параметр таков, что фазовая линия пересекает кривую В этом случае на линии существуют такие расположенные симметрично относительно прямой точки в которых и которые вследствие этого являются точками стыка фазовых траекторий уравнений (10.36). Эти точки не являются состояниями равновесия, и в то же время к ним идут изображающие точки при любых начальных условиях (но на линии нет траекторий, отходящих от точек

Появление на фазовой линии точек стыка траекторий, как и всегда, означает «дефектность» принятой модели, означает существование таких параметров схемы, которые являются существенными для колебаний в схеме, но которыми мы «по наивности» («в силу их малости») пренебрегли, означает, наконец, возможность появления разрывных колебаний. Для рассмотрения последних нам нужно или учесть существенные малые параметры или же дополнить нашу

«дефектную» модель первого порядка соответствующим образом сформулированной гипотезой скачка.

2. Постулат скачка.

Пойдем сначала по пути дополнения «вырожденной» модели первого порядка (уравнений постулатом скачка. Пусть для определенности фазовая линия пересекает кривую в двух точках: причем (рис. 549). Так как эти точки стыка фазовых траекторий всегда являются граничными точками отрезков фазовой линии, на которой неучтенные нами малые параметры (или, точнее, некоторые из них) являются существенными для колебательных процессов в генераторе и на которой, следовательно, наша «вырожденная» модель непригодна для описания колебаний в схеме, то нам в первую очередь нужно указать те из трех участков Из фазовой линии на которых колебания схемы могут быть отображены уравнениями (10.36) с некоторой степенью точности, если эти паразитные параметры малы.

Рис. 549.

Мы примем следующую гипотезу о характере колебаний в схеме:

1) На участках и фазовой линии на которых , неучтенные нами малые, паразитные параметры несущественны для процессов в схеме, в силу чего там имеют место «медленные» изменения состояний схемы, описываемые уравнениями (10.36). Наоборот, на участке имеют место только «быстрые» движения изображающей точки, уводящие ее с там уравнения (10.36) не отображают не только количественно, но и качественно законов колебаний схемы.

2) Когда изображающая точка, двигаясь по участку А (или фазовой линии в соответствии с уравнениями (10.36), приходит в точку то дальше она совершает мгновенный скачок в некоторую другую точку (или в внутри одного из интервалов или фазовой линии определяемую следующими условиями скачка:

причем

Эти условия скачка, как обычно, получаются из постулата ограниченности токов и напряжений в схеме, из которого следует, что напряжение на конденсаторе С (см. (10.35)) должно оставаться неизменным во время скачка анодных токов ламп (напомним, что х и у пропорциональны соответственно

Если уравнения (10.39) определяют однозначно по заданной начальной точке скачка (по или концевую точку скачка или внутри интервалов или то сделанная нами гипотеза о характере движения изображающей точки позволит рассмотреть колебания схемы, начинающиеся из состояний, изображаемых точками интервалов и Агфазовой линии Эти колебания схемы, очевидно, будут периодическими и разрывными.

О существовании и количестве действительных ветвей кривой множества точек В, соответствующих согласно (10.39) точкам при всевозможных значениях параметра в самом общем случае ничего сказать нельзя. Если кривая существует, то она симметрична относительно биссектрисы и касается в точках последней кривой кроме того, она — замкнутая, если характеристика ламп имеет насыщение. Заметим также, что первые два уравнения (10.39) определяют на плоскости х, у, кроме кривой еще кривую двойной кратности, совпадающую с Однако точки кривой не лежат в области следовательно, могут не рассматриваться.

Рис. 550.

В том случае, когда уравнения (10.39) по заданной точке (по заданной начальной точке скачка) определяют несколько точек В, в постулат скачка должны быть добавлены указания, дающие однозначное соответствие точек

3. Разрывные колебания схемы.

Для дальнейшего рассмотрения этих колебаний необходимо задаться конкретным аналитическим выражением характеристики анодного тока ламп. Будем аппроксимировать характеристику следующей функцией (рис. 550, а):

где ток насыщения, — наибольшая крутизна характеристики и то значение управляющего напряжения, при котором Решая это уравнение относительно управляющего напряжения мупр и полагая масштаб силы тока

мы получим для приведенных (обратных) характеристик ламп:

где при этом (рис. 550, б). Тогда согласно (10.36), (10.37), (10.38) и (10.39) мы получим: уравнение фазовой линии

где

уравнения движения изображающей точки по фазовой линии:

где - новое, безразмерное время;

уравнение кривой геометрического места начальных точек скачков

и условия скачка:

Так как анодные токи могут меняться только в пределах то физический смысл имеют только те точки плоскости х, у, которые принадлежат квадрату Нетрудно также видеть, что фазовая линия при любых значениях параметра

проходит через вершины этого квадрата причем при фазовой линией является прямая Далее, так как то кривая определяемая уравнением (10.38), существует при при

кроме того, она является замкнутой кривой и симметрична относительно прямых:

При кривая определяемая уравнениями (10.39), также существует, лежит в области вне кривой и является замкнутой и симметричной относительно прямых причем каждой начальной точке скачка соответствует единственная концевая точка скачка В, лежащая по другую сторону биссектрисы

Рис. 551.

Поэтому движение изображающей точки (начинающееся для определенности из точки а) носит следующий характер (рис. 551): начав двигаться из точки а, изображающая точка придет по фазовой линии в точку откуда, скачком перейдет в точку на фазовой линии Далее, двигаясь по линии она снова попадет на кривую в точке откуда произойдет скачок в точку далее движение по фазовой линии до точки и Таким образом, в схеме устанавливаются периодические разрывные колебания переменных х и у (т. е. анодных токов ламп и напряжений на сопротивлениях соответствующие «разрывному» предельному циклу состоящему из двух траекторий «медленного» движения и и двух скачков

Выясним, при каких значениях параметров возможны разрывные колебания. Очевидно, для этого необходимо: 1) чтобы кривая существовала (чтобы она имела действительные ветви); 2) константа в уравнении (10.37) фазовой линии должна быть такой, чтобы линия пересекала кривую Как мы уже видели, кривая существует, если

Второе условие будет выполнено, если в состоянии равновесия схемы определяемом соотношениями:

иначе говоря Подставляя последнее неравенство в уравнение, определяющее состояние равновесия, получим следующее условие, необходимое для того, чтобы линия пересекала кривую Г:

причем для взято его значение, соответствующее первой четверти, а значение корня взято со знаком плюс.

Ввиду математических трудностей, связанных с вычислениями периода автоколебаний в случае движения изображающей точки по произвольной фазовой линии мы ограничимся получением выражения для периода при когда фазовой линией является прямая Уравнения «медленного» движения изображающей точки по этой фазовой прямой (уравнения (10.36) при очевидно, запишутся в виде:

откуда период автоколебаний (в обычных единицах времени)

где соответственно абсциссы точек пересечения фазовой прямой с кривыми и лежащих по одну сторону биссектрисы

4. Учет паразитных емкостей.

В заключение параграфа покажем, как принятая нами гипотеза о характере колебаний в схеме Фрюгауфа вытекает из свойств «доброкачественной» модели этой схемы, построенной при учете хотя бы одного существенного паразитного параметра. Среди различных паразитных параметров, малых, но существенных для колебательных процессов в схеме, по-видимому, основную роль играют паразитные емкости (они изображены на рис. 548 пунктиром). Для наших целей достаточно учесть одну из них (любая из этих емкостей делает невозможными мгновенные скачки анодных токов и напряжений на сопротивлениях Чтобы не нарушать симметрии схемы, мы будем учитывать ниже только малую паразитную емкость В этом случае имеем следующие уравнения колебаний схемы

(в обозначениях рис. 548):

представляющих собой систему дифференциальных уравнений второго порядка. Если ввести безразмерные токи

безразмерные напряжения на конденсаторах

безразмерное время

и малый параметр

то эти уравнения можно привести к следующей безразмерной форме:

так как x, связаны между собой и с уравнениями:

выражающими их в виде некоторых функций как и раньше, — безразмерное управляющее напряжение, выраженное в виде функции безразмерного анодного тока лампы).

Возьмем в качестве фазовой поверхности полученной системы второго порядка цилиндрическую поверхность в

пространстве определяемую уравнением (10.40а) (направляющей этой цилиндрической поверхности является линия на плоскости а ее образующие параллельны оси и построим на ней линию

- фазовую линию «вырожденной» системы (рис. 552).

Рис. 552.

Вычислим на линии Дифференцируя по (при постоянном функцию а также выражения (10.40а) и (10.406), имеем:

откуда, исключая и получим:

Так как знаменатель этого выражения всегда положителен (поскольку то условие несущественности малой паразитной емкости очевидно, сводится к неравенству

которое выполняется на «восходящих» участках линии с Таким образом, только в малых окрестностях этих участков фазовой линии «вырожденной» системы можно пренебрегать малой паразитной емкостью C (разумеется, при — только там фазовые траектории «медленных» движений (с конечными фазовыми скоростями при близки к линии и движение изображающей точки отображается «вырожденными» уравнениями:

и

эквивалентными, как нетрудно видеть, уравнениям (10.36). Тем самым мы получили обоснование первого пункта принятой в п. 2 гипотезы о характере колебаний схемы.

Далее, вне линии при причем над линией под этой линией, в то время как остается конечным. Следовательно, область фазовой поверхности вне линии заполнена при фазовыми траекториями «быстрых» движений по которым изображающая точка движется «скачком» вправо (в сторону возрастания над кривой и влево (в сторону уменьшения под ней, т. е. на участки линии

Если схема самовозбуждается, т. е. если в состоянии равновесия то линия имеет точки максимумов и минимумов которые одновременно являются граничными точками фазовых траекторий «медленных» движений так как в них и обращаются в нуль. В этих точках «медленное» движение изображающей

точки переходит в «быстрое», скачкообразное по соответствующей траектории приводящей изображающую точку вновь на один из участков Во время этих скачков т. е. напряжение на конденсаторе С, остается неизменным что дает условия скачка (10.39).

Разбиение фазовой поверхности на траектории «быстрых» движений обеспечивает, в отличие от условий скачка (10.39), однозначность соответствия начальных и концевых точек скачков во всех случаях, включая и те, когда линия имеет больше, чем по одной точке максимума и минимума Именно, в соответствии с этим разбиением из точки максимума (минимума) на кривой скачок совершается по траектории вправо (влево) в ближайшую точку пересечения прямой с линией

Предельное (при разбиение фазовой поверхности на траектории, к которому близко разбиение этой поверхности при т. е. при для случая самовозбуждающейся схемы приведено на рис. 552. Очевидно, при любых начальных условиях в схеме устанавливаются разрывные автоколебания, отображаемые на фазовой поверхности предельным циклом абвга (его проекцией на плоскость х,у и являлся разрывный предельный цикл

Так, учитывая хотя бы одну из существенных паразитных емкостей, мы получили «доброкачественную» модель схемы Фрюгауфа, позволяющую полностью рассмотреть колебания схемы без каких-либо дополнительных гипотез и предположений.