2. Устойчивость неподвижной точки. Теорема Кенигса.

Итак, если мы знаем точечное преобразование некоторого отрезка L самого в себя (знаем функцию последования), то задача отыскания замкнутых фазовых траекторий (предельных циклов), пересекающих этот отрезок, сводится к нахождению неподвижных точек, т. е. таких точек отрезка L, для которых

Графически мы можем найти эти неподвижные точки как точки пересечения на плоскости на так называемой диаграмме Ламерея,

кривой (графика функции последования) и биссектрисы (рис. 246).

Рис. 246.

Существенно, что функция последования позволяет не только найти предельные циклы, но и решить вопрос об их устойчивости, так как характер ее поведения вблизи неподвижной точки полностью определяется характером поведения фазовых траекторий в окрестности предельного цикла. С целью определения устойчивости предельного цикла рассмотрим последовательности точек пересечения с отрезком L фазовых траекторий, лежащих в некоторой окрестности предельного цикла, которому соответствует неподвижная точка последовательности точек:

в которых каждая последующая точка, очевидно, определяется по предыдущей функцией последования, т. е.

Если какая-либо из этих фазовых траекторий стремится при к предельному циклу, то соответствующая последовательность (5) будет иметь своей предельной точкой неподвижную точку

И наоборот, из сходимости последовательности (5) к неподвижной точке мы можем сделать вывод, что соответствующая ей фазовая траектория стремится к предельному циклу при

Рис. 247.

Если предельный цикл устойчив, то (в силу определения устойчивости) существует такая его окрестность что все фазовые траектории с начальными точками в этой окрестности асимптотически приближаются к предельному циклу при Но это одновременно означает, что на отрезке L существует окрестность неподвижной точки часть отрезка L, лежащая в двумерной области (рис. 247), такая, что каждая последовательность (5) с начальной точкой в окрестности сходится к неподвижной точке (т. е. при любых принадлежащих при

Будем называть неподвижную точку точечного преобразования устойчивой, если существует такая ее окрестность что все

последовательности

с начальными точками сходятся к этой неподвижной точке. Тогда сказанное выше, очевидно, означает, что устойчивому предельному циклу соответствует устойчивая неподвижная точка, причем, как нетрудно видеть, это соответствие является взаимным.

Наоборот, неподвижную точку мы будем называть неустойчивой, если в любой сколь угодно малой ее окрестности найдется (хотя бы одна) такая точка что последовательность не сходится к Она, очевидно, соответствует неустойчивому предельному циклу, так как существование таких последовательностей точек, начинающихся в любой сколь угодно малой окрестности неподвижной точки и не сходящихся к ней, говорит о наличии в сколь угодно малой окрестности предельного цикла фазовых траекторий, уходящих от него при

Условие устойчивости неподвижной точки точечного преобразования, выражаемого функцией последования а следовательно, и условие устойчивости соответствующего предельного цикла дается теоремой Кенигса [168, 169]:

неподвижная точка точечного преобразования устойчива, если

и неустойчива, если

Для доказательства теоремы Кенигса перенесем прежде всего начало отсчета координат точек отрезка L в неподвижную точку и введем

(неподвижной точкой будет Тогда последовательности точек в которой каждая последующая точка получается из предыдущей применением функции последования, будет соответствовать последовательность положительных чисел:

где

Если то на отрезке L существует такая окрестность неподвижной точки (рис. 248, а), для всех точек

которой, кроме

где некоторое число, положительное, но меньшее единицы. Поэтому каждая последовательность положительных чисел

при условии, что является монотонно убывающей и ограниченной снизу и, следовательно, в силу известной теоремы о сходимости таких числовых последовательностей, сходится к некоторому пределу, который, однако, не может быть отличным от нуля.

Рис. 248.

Таким образом, при выполнении условия (5.53а) любая последовательность точек с начальными точками в окрестности: сходится к следовательно, неподвижная точка 5 устойчива.

Если же выполнено условие (5.536), то существует такая окрестность для точек которой (рис. 248,б). Поэтому любая последовательность чисел (при условии, что заведомо не может сходиться к пределу а последовательности (с начальными точками не могут сходиться к Следовательно, в этом случае неподвижная

точка будет неустойчивой. Тем самым мы доказали теорему Кенигса. Заметим, что эта теорема не решает вопроса об устойчивости неподвижной точки, если этом случае требуется дополнительное исследование, так как устойчивость определяется знаками старших производных функции последования).