4. Вторая основная теорема о множестве предельных точек полутраектории.

Если полутраектория не замкнута и имеет хотя бы одну предельную траекторию, не являющуюся состоянием равновесия, то она сама не может быть предельной.

Пусть траектория, не являющаяся состоянием равновесия, — предельная для полутраектории Vе. Будем доказывать теорему от противного. Предположим, что полутраектория сама является предельной для некоторой полутраектории и покажем, что мы придем к противоречию.

Возьмем какую-нибудь точку на траектории L и проведем через эту точку отрезок без контакта Так как точка является

предельной для полутраектории то на отрезке I будет лежать бесчисленное множество точек траектории расположенных в порядке возрастания t (предложение VII).

Возьмем три последовательные точки пересечения так как мы предположили, что траектория сама является предельной для полутраектории то, в частности, предельной для полутраектории будет точка Тогда, опять-таки на основании предложения VII, либо на отрезке либо на отрезке должна быть последовательность точек полутраектории стремящихся к точке Мы покажем, что это невозможно, так как полутраектория может пересекать каждый из отрезков только по одному разу.

Действительно, пусть О — одна из точек пересечения полутраектории с отрезком . Изображающая точка, помещенная в момент в точку при значениях либо войдет в область, лежащую внутри замкнутой кривой образованной дугой полутраектории и отрезком без контакта либо выйдет из этой области. Пусть, например, изображающая точка при входит в указанную область, тогда она уже не сможет выйти из нее, так как она не может выйти ни через дугу (траектории не пересекаются), ни через отрезок (все траектории пересекают отрезок без контакта в одном и том же направлении). Следовательно, изображающая точка уже не сможет пересечь отрезок при

Совершенно такое же рассуждение можно провести для того случая, когда изображающая точка выходит при в область вне замкнутой кривой ясно, что аналогичное рассуждение справедливо и для отрезка Таким образом, предположение, что полутраектория есть предельная для полутраектории приводит к противоречию, и теорема доказана.

В частности, из этой теоремы следует, что незамкнутая траектория не может быть самопредельной, так как в противном случае она имела бы предельную траекторию, не являющуюся состоянием равновесия, — саму себя, а с другой стороны сама являлась бы предельной.

Эта теорема отражает черты, характерные для плоскости, и может не быть справедливой для траекторий в других фазовых пространствах. Она не справедлива, например, для траекторий на торе, а также в случае системы трех уравнений, аналогичных системе (6.1), когда фазовым пространством является эвклидово пространство трех измерений.

Из второй основной теоремы следует невозможность других типов предельных траекторий, кроме: 1) состояний равновесия, 2) замкнутых траекторий, 3) незамкнутых траекторий, имеющих в качестве предельных точек только состояния равновесия, так как в силу этой теоремы никакая незамкнутая предельная траектория сама уже не может иметь предельных точек, отличных от состояния равновесия. Мы добавим ко второй основной теореме еще две теоремы,

которые позволят установить, какие комбинации из названных типов предельных траекторий возможны в качестве множества всех предельных точек полутраектории.

Теорема III. Если полутраектории имеет замкнутую предельную траекторию то является единственной предельной траекторией для

Если сама полутраектория замкнута, то все ее точки являются предельными для нее самой, и ясно, что никаких других предельных точек у нее быть не может. В этом случае теорема очевидна.

Предположим теперь, что не замкнута. Докажем сначала, что сколь бы малое мы ни взяли, все точки полутраектории начиная с некоторого значения (зависящего от будут находиться внутри -окрестности траектории Пусть полутраектории соответствует движение а траектории Так как траектория замкнута, то и периодические функции, т. е. существует такое (период движения по что

Возьмем какую-нибудь точку траектории соответствующую значению Эта же точка будет соответствовать и значениям Напомним, что в силу автономности системы уравнений (6.1) мы всегда можем выбрать движение по траектории так, чтобы значение которому соответствует точка было любым выбранным значением.

Проведем в точке отрезок без контакта I, целиком лежащий внутри рассматриваемой -окрестности можно взять сколь угодно малым). В силу предложения VII на отрезке без контакта находится последовательность точек полутраектории стремящихся к точке (так как точка -предельная для полутраектории При этом точки расположены на отрезке I в порядке возрастания значений

На основании предложения VIII, выбирая мы всегда можем взять окружность столь малого радиуса вокруг точки чтобы траектория, проходящая при через любую точку внутри этой окружности, за время от до не выходила из -окрестности и в момент сколь угодно мало отличающийся от пересекла бы отрезок

Возьмем точку соответствующую и лежащую внутри окружности радиуса на отрезке Будем считать в данном случае Тогда, в силу только что сказанного, значение будет равно некоторому причем, в силу выбора заведомо больше

Часть полутраектории соответствующая промежутку времени от до целиком содержится в -окрестности . Ясно, что точка (соответствующая ) лежит на отрезке I ближе к точке чем точка и содержится, следовательно, внутри -окрестности точки . К точке приложимо поэтому такое же рассуждение, как и к точке значит, существует такая точка соответствующая значению лежащая на отрезке без контакта I, что часть полутраектории соответствующая значениям между и , целиком содержится внутри -окрестности

Продолжая такое же рассуждение далее, мы видим, что вся часть полутраектории соответствующая значениям большим содержится внутри -окрестности

Покажем теперь, что замкнутая траектория 10 содержит все предельные точки полутраектории Доказательство поведем от противного. Предположим, что полутраектория имеет предельную точку не лежащую на замкнутой траектории следовательно, находящуюся на некотором расстоянии от . В любой сколь угодно малой окрестности точки должны находиться точки полутраектории соответствующие сколь угодно большим значениям

Но, с другой стороны, в силу доказанного выше, сколь бы малое мы ни взяли, всегда найдется такое что все точки полутраектории соответствующие будут лежать внутри -окрестности траектории

Мы всегда можем взять меньше, чем так что точка будет лежать вне -окрестности 10, и, следовательно, сколь угодно близко от точки не смогут находиться точки полутраектории соответствующие сколь угодно большим значениям Таким образом, мы приходим к противоречию, и теорема доказана.

Теорема IV. Если среди предельных точек полутраектории нет состояний равновесия, то она либо замкнута, либо незамкнута, но имеет замкнутую предельную траекторию.

Действительно, предположим, что Vе не замкнута. В силу сделанных на основании теоремы III заключений траектория, предельная для может быть либо замкнутой траекторией (и тогда в силу предыдущей теоремы она является единственной предельной траекторией либо незамкнутой траекторией, стремящейся к состоянию равновесия. Но второй случай, очевидно, невозможен, так как то состояние равновесия, к которому стремилась бы предельная для траектория, очевидно, являлось бы предельным также и для что противоречило бы предположению. Таким образом, теорема доказана.

Следствием этой теоремы является следующая, очень часто используемая теорема:

Теорема V. Пусть замкнутая двухсвязная (кольцевая) область, которая не содержит состояний равновесия и из которой траектории не выходят при возрастании (при убывании

Тогда внутри такой области О непременно существует хотя бы один устойчивый (неустойчивый) предельный цикл.

Действительно, у всякой незамкнутой траектории, входящей при возрастании (убывании в область множество предельных точек целиком лежит в этой области и, следовательно, не содержит состояний равновесия. А тогда, в силу теоремы IV, это множество является замкнутой траекторией (предельным циклом).

Таким образом, в области О лежит хотя бы один предельный цикл. Однако в ней может лежать и более одного предельного цикла. Если предположить, что среди этих предельных циклов нет «полуустойчивых» (они возможны только с «негрубых» системах; см. § 4 настоящей главы), то, очевидно, в случае, когда все траектории при возрастании входят в область в ней заведомо лежит хотя бы один устойчивый предельный цикл, а в случае, когда все траектории при возрастании выходят из области О, — хотя бы один неустойчивый.

В случае, когда в области О существуют полуустойчивые предельные циклы, справедливость теоремы устанавливается несколько более сложным рассуждением, которое мы не приводим. На эту теорему мы опираемся во всех случаях, когда существует область между двумя циклами без контакта, в которую все траектории входят при возрастании (при убывании