2. Модель часов с балансиром, обладающим «собственным периодом».

Перейдем теперь к рассмотрению модели часов, на балансир которых кроме сил трения и сил, действующих со стороны спуска, действует еще сила, «притягивающая» его к среднему положению (колебательной системой часов является или балансир с пружиной или маятник и она имеет «собственный период», т. е. может совершать колебания при отсоединенном спусковом устройстве).

Уравнение движения колебательной системы таких часов можно записать в виде

где все обозначения имеют тот же смысл, что и в предыдущем пункте, а является моментом сил пружины балансира. Это уравнение для движущегося балансира если ввести новые переменные

и безразмерные параметры часов

можно записать в виде следующей системы двух дифференциальных уравнений первого порядка:

где, как и раньше, номер палетты, контактирующей с зубом ходового колеса, и точкой вверху обозначено дифференцирование по новому времени (очевидно, по-прежнему листом (I) двулистной фазовой поверхности, соответствующим контакту правой палетты с зубом ходового колеса, является полуплоскость илистом (II), соответствующим контакту левой палетты полуплоскость

Рассмотрим фазовые траектории на листе (I) (по-прежнему фазовые траектории на листе (II) симметричны (относительно начала координат) с траекториями на листе Прежде всего найдем состояния равновесия. В силу того, что мы учитываем силы сухого, кулоновского трения, равновесие наступит во всяком состоянии, в котором осциллятор неподвижен или а сумма моментов сил пружины и спускового механизма не превышает максимального момента

силы трения покоя, т. е.

Очевидно, в зависимости от параметров могут представиться три случая: а) если то на листе (I) имеется отрезок состоящий из состояний равновесия, — отрезок покоя (рис. 150); б) если но то состояниями равновесия будут точки отрезка наконец, в) состояний равновесия не существует, если (в последнем случае и точка и точка лежат вне листа

Рис. 150.

Интегрируя уравнения (3.49) для листа (7) (для него нетрудно убедиться, что фазовыми траекториями будут дуги полуокружностей:

в нижней половине листа, (с центром в точке и

в верхней половине, (с центром в точке На рис. 150 изображены фазовые траектории на листе (I) для случая Фазовые траектории, начинающиеся в заштрихованной области, входят (через конечный промежуток времени) в отрезок покоя Все остальные фазовые траектории выходят на границу листа на полупрямой

Для выяснения характера возможных движений колебательной системы часов, так же как и в предыдущей задаче, проведем на фазовой поверхности две полупрямые: , и рассмотрим точечное преобразование их друг в друга, осуществляемое фазовыми траекториями. Пусть изображающая точка перешла с листа на лист (I) в точке полупрямой (рис. 151). На листе (I) она, двигаясь по соответствующей полуокружности (3.50а), придет на ось абсцисс в точке где и определяется уравнением

Если то изображающая точка пересечет ось абсцисс и будет двигаться в верхней половине листа (I) по полуокружности (3.50 б):

и или выйдет на полупрямую в точке определяемой уравнением

или придет на отрезок покоя, в одно из равновесных состояний. Последнее имеет место при

Соотношения (3.51 а) и (3.51 б) являются функцией последования для рассматриваемого точечного преобразования, записанной опять в параметрической форме; функция последования для точечного преобразования полупрямой в полупрямую осуществляемого фазовыми траекториями на листе (II), имеет тот же вид в силу указанной выше симметрии фазовых траекторий на листах (I) и (II). Эта функция последования определяет в последовательности точек пересечения любой выбранной фазовой траектории с полупрямыми (в последовательности каждую последующую точку по предыдущей. Неподвижная точка преобразования (для нее Соответствует симметричному предельному циклу (рис. 151).

Рис. 151.

Для отыскания неподвижной точки, а также для определения ее устойчивости построим диаграмму Ламерея (рис. 152). Построив на ней кривые (3.51а) и (3.516) (первую из них следует строить только для вторую для нетрудно найти неподвижную точку как точку пересечения этих кривых (на рис. 152 по оси ординат отложены вместо в этом случае кривые (3.51а) и (3.516) являются параболами). Очевидно, если что имеет место при то кривые (3.51а) и (3.516) не пересекаются; первая из них идет всюду над второй, последовательность чисел будет монотонно убывающей и система при любых начальных условиях будет приходить в одно из состояний

равновесия. Автоколебаний часов в этом случае не будет (диаграмма Ламерея для этого случая изображена на рис. 152, а).

Если же что имеет место при

то кривые (3.51а) и (3.516) имеют единственную точку пересечения на рассматриваемое точечное преобразование — единственную неподвижную точку, которая, как нетрудно убедиться, является устойчивой (рис. 152, б).

Рис. 152.

Таким образом, при выполнении неравенства (3.53) на фазовой поверхности имеется единственный устойчивый предельный цикл, который и соответствует автоколебательному режиму часов (предельный цикл для случая изображен на рис. 151).

В зависимости от значений параметров (но ) мы будем иметь или жесткий или мягкий режим установления автоколебаний.

Рис. 153.

Рис. 154.

Если но то наряду с устойчивым предельным циклом на фазовой поверхности

имеются еще отрезки устойчивых состояний равновесия (на каждом листе) и установление автоколебаний происходит не при всех начальных условиях (вне заштрихованной области на рис. 153). Если же то состояний равновесия не существует и все фазовые траектории асимптотически приближаются к предельному циклу, т. е. имеет место мягкий режим установления автоколебаний (они устанавливаются при любых начальных условиях). На рис. 154 изображена плоскость параметров часов (точнее ее первый квадрант) с отмеченными на ней областями существования различных режимов часов.

Остановимся теперь более подробно на периодическом движении колебательной системы часов, которое, как мы видели, существует только при или, что то же самое, при Приравнивая в выражениях (3.51а) и (3.516), мы получим для амплитуды автоколебаний балансира:

или в обычных угловых единицах

Для вычисления периода автоколебаний заметим, что изображающие точки двигаются по фазовым траекториям — полуокружностям — с угловой скоростью относительно их центров, равной единице. Поэтому время пробега (в единицах безразмерного времени) изображающей точки по той или иной дуге полуокружности, составляющей предельный цикл, равно величине центрального угла этой дуги и период автоколебаний (также в единицах безразмерного времени) равен

где центральные углы дуг предельного цикла

(рис. 151). Очевидно, удовлетворяют неравенствам:

и определяются соотношениями:

Так как то и период автоколебаний

В обычных единицах период автоколебаний равен

Он всегда меньше периода свободных колебаний балансира (или маятника).

Посмотрим, как зависит период автоколебаний от параметров часов: от т. е. от силы заводного механизма, и от т. е. от коэффициента трения, причем сделаем это для наиболее интересного для практики случая малых При заданном При очевидно, имеем следующие приближенные соотношения:

и, пренебрегая в знаменателе по сравнению с

аналогично

и, следовательно,

так как График зависимости от (при постоянном дан на рис. 155 при

Рис. 155.

Рассматривая как функцию нетрудно получить следующие выражения для стабильности хода часов при изменении силы заводного механизма и коэффициента трения:

Как видим, стабильность хода часов тем лучше, чем меньше и т. е. чем меньше трение в колебательной системе часов и чем слабее воздействие на нее со стороны спускового механизма по сравнению с моментом Во всяком случае, стабильность хода часов с балансиром, «обладающим собственным периодом», может быть сделана значительно более хорошей, чем стабильность часов с балансиром без «собственного периода» [23].