3. Простые и сложные предельные циклы. Грубые предельные циклы.

Перейдем теперь к выяснению тех условий, которым должна удовлетворять замкнутая траектория для того, чтобы она могла существовать в грубой системе. Для этого рассмотрим сначала окрестность произвольной замкнутой траектории, не обязательно являющейся траекторией грубой системы. Рассмотрение, которое при этом проводится, аналогично проведенному в случае сложного фокуса и центра. Итак, пусть замкнутая траектория,

— какое-нибудь соответствующее ей периодическое движение и период этого движения.

Рассмотрим отрезок без контакта I, проведенный через какую-нибудь точку траектории содержащий точку внутри. Пусть параметр на этом отрезке и

— функция последования на нем (см. § 7 гл. V). Введем функцию Функции являются аналитическими функциями s (см. § 7, п. 3, гл. V).

Если значение параметра соответствующее точке отрезка I, через которую проходит замкнутая траектория то, очевидно,

Если для рассматриваемой замкнутой траектории характеристический показатель не равен нулю, то, как известно (см. § 7 гл. V), при т. е. когда 1 и, следовательно,

чраектория устойчивый предельный цикл, а при когда 1 и, следовательно, траектория неустойчивый предельный цикл.

В обоих этих случаях значение является простым корнем уравнения Поэтому в случае, когда предельный цикл называется простым.

Остановимся теперь на случае, оставленном без рассмотрения в § 7 гл. V, когда характеристический показатель т. е. следовательно, . В этом случае есть корень уравнения кратности выше первой. При этом могут представиться следующие две возможности:

1) Хотя бы одна из производных функции не обращается в нуль при т. е. существует такое целое что

Мы будем иметь, следовательно:

В этом случае всегда существует такое, что при всех отличных от значениях удовлетворяющих неравенству

не обращается в нуль, т. е. часть отрезка, для точек которой пересекает только одна замкнутая траектория, именно рассматриваемая траектория Эта замкнутая траектория называется сложным -кратным предельным циклом.

Рассмотрим случай, когда нечетное. Предположим, что Тогда при

а при

Следовательно, всякая последующая точка на отрезке I ближе к точке (в которой замкнутая траектория пересекает отрезок чем предыдущая. Так как по самому построению функции последования «последующая» точка соответствует значению большему, чем предыдущая, то, принимая во внимание, что единственная замкнутая траектория, пересекающая рассматриваемую часть отрезка без контакта нетрудно показать на основании теоремы IV § 2

настоящей главы, что всякая отличная от траектория, пересекающая отрезок I достаточно близко к точке при стремится к предельному циклу Предельный цикл является устойчивым (нечетно-кратным) предельным циклом.

Если то совершенно таким же рассуждением можно показать, что всякая траектория, пересекающая отрезок I достаточно близко в точке при стремится к предельному циклу Предельный цикл является неустойчивым (нечетнократным) предельным циклом.

Пусть теперь четное. Тогда при всех в зависимости от знака либо т. е. (если либо т. е. (если Нетрудно показать, что в случае, когда все траектории, проходящие через точки отрезка соответствующие значениям стремятся к при а все траектории, проходящие через точки отрезка I, соответствующие значениям стремятся к при и наоборот, когда

Очевидно, в рассматриваемом случае (четное предельный цикл неустойчив. Однако часто предельный цикл этого типа называют «полуустойчивым» (четно-кратным), сохраняя термин «неустойчивый» лишь для цикла, к которому все достаточно близкие траектории стремятся при

При как в случае четного, так и в случае нечетного предельный цикл называется также «сложным предельным циклом».

2) Производные всех порядков от функции при обращаются в нуль, т. е. при любом I

Тогда, очевидно, при всех рассматриваемых в силу того, что функция аналитическая функция,

т. е. функция последования имеет вид:

Это, очевидно, означает, что все траектории, проходящие через достаточно близкие к точки, замкнуты.

Для того чтобы сообщить изложенному большую наглядность, рассмотрим диаграмму Ламерея, т. е. рассмотрим плоскость с прямоугольными координатами и на этой плоскости — кривую, представляющую функцию последования

и прямую Замкнутые траектории соответствуют значениям для которых

т. е. тем значениям при которых кривая имеет общую точку с прямой Если эта общая точка является простым пересечением, то соответствующая замкнутая траектория есть предельный цикл, для которого Если эта общая точка есть точка соприкосновения того или другого порядка, то предельный цикл будет той или другой кратности. В частности, когда кривая совпадает с прямой имеет место случай 2).

Мы покажем, что замкнутая траектория, являющаяся -кратным предельным циклом (случай при и замкнутая траектория, в окрестности которой все траектории замкнуты (случай 2)), не могут существовать в грубой системе.

Сделаем предварительно некоторые замечания.

Отрезок I, являющийся отрезком без контакта для траекторий системы будет также отрезком без контакта и для траекторий всякой измененной системы достаточно близкой к системе Кроме того, если и значения параметра соответствующие отличным от концов хочкам отрезка I, то на основании теоремы IV Дополнения I нетрудно показать, что при всех значениях на I может быть определена соответствующая системе функция последования:

На основании теоремы V Дополнения I нетрудно видеть, что эта функция и ее производная сколь угодно мало отличаются соответственно от функции и ее производной если система достаточно близка к системе

Принимая сказанное во внимание, естественно ожидать, что замкнутая траектория, у которой характеристический показатель т. е. в случае, когда и в случае 2), не может существовать в грубой системе. Действительно, пусть общая точка кривой и прямой соответствующая такой замкнутой траектории. Кривая либо имеет в точке соприкосновение того или другого порядка с прямой (случай 1)), либо совпадает с прямой (случай 2)). Но в обоих этих случаях можно указать функцию сколь угодно близкую к функции и с производной, сколь угодно близкой к такую, чтобы кривая в сколь угодно малой окрестности точки либо имела с прямой более одной общей точки, либо (в случае, когда кривая имеет с прямой соприкосновение четного порядка, см. рис. 313, а также в случае, когда она совпадает с прямой не имела бы ни одной общей точки с этой прямой. Если, кроме того, мы покажем, что существует измененная система сколь угодно близкая к системе для которой такая функция является функцией последования на отрезке I, то, очевидно, это будет означать, что

при надлежащим образом выбранных, но сколь угодно малых изменениях правых частей системы рассматриваемая замкнутая траектория либо разделяется на несколько предельных циклов, либо исчезает (в случае четного случае 2)). Отсюда, очевидно, будет следовать, что система не может быть грубой. Таким образом, доказательство того, что в грубой системе не может существовать -кратного предельного цикла, при может быть проведено с помощью построения измененной системы для которой функция последования обладает нужными свойствами. Очевидно, такое доказательство (оно проводится ниже) весьма аналогично доказательству теоремы II.

Перейдем к точному его изложению. Сформулируем сначала без доказательства одну вспомогательную лемму:

Лемма. Существует определенная в области О функция

имеющая непрерывные частные производные не менее чем до второго порядка и такая, что: 1) (т. е. функция обращается в нуль в точках траектории

Утверждение этой леммы имеет очень простой геометрический смысл. Именно, рассмотрим в пространстве х,у, z функцию обладающую указанными в лемме свойствами. Эта функция изображается гладкой поверхностью, которая проходит через траекторию лежащую в плоскости силу условия 2) ни в одной точке не касается плоскости х, у.

Перейдем теперь к доказательству самой теоремы, устанавливающей необходимые условия для того, чтобы замкнутая траектория могла существовать в грубой системе, т. е. была «грубой замкнутой траекторией».

Теорема III. У грубой системы не может существовать замкнутых траекторий, для которых

Если для замкнутой траектории системы параметрические уравнения которой

выполняется условие

то в согласии с изложенным выше либо эта замкнутая траектория является сложным -кратным предельным циклом (случай 1)), и тогда существует окрестность не содержащая кроме больше ни одной замкнутой траектории, либо все траектории в окрестности замкнуты. Рассмотрим сначала случай 1).

Для простоты предположим, что при выбранном на отрезке I параметре точка пересечения этого отрезка с замкнутой траекторией соответствует значению Пусть, как и выше, функция последования на отрезке Очевидно, кроме того в рассматриваемом случае может быть как четным, так и нечетным). Будем для определенности предполагать, что (в случае рассуждение полностью аналогично).

Доказательство утверждения теоремы будет дальше проводиться следующим образом: сначала рассмотрим вспомогательную измененную систему, правые части которой не являются аналитическими функциями, а затем рассмотрим сколь угодно близкую к ней систему, правые части которой уже являются аналитическими функциями.

Вспомогательная измененная система (правые части которой не являются аналитическими функциями), которую мы будем

рассматривать, имеет вид:

где параметр, а функция удовлетворяет условиям предыдущей леммы, так что правые части этой системы во всяком случае имеют непрерывные частные производные первого порядка (в силу того, что функция согласно требованиям леммы имеет непрерывные частные производные до второго порядка); систему (6.17) мы будем называть «системой

Так как по самому выбору функции

то, очевидно,

является решением также и системы т. е. траектория является также и траекторией системы Очевидно, при всех достаточно малых система будет сколь угодно близка к системе Будем рассматривать лишь столь малые значения где надлежащим образом выбранная постоянная), при которых отрезок I остается отрезком без контакта для системы Пусть

— функция последования, построенная для системы (Л на отрезке

Функция последования может быть найдена совершенно так же. как и в случае системы При этом, в силу того, что является траекторией как системы так и системы мы можем воспользоваться той же системой криволинейных координат (см. § 7 гл. V), что и в случае системы Пусть уравнение, аналогичное уравнению (5.56) и соответствующее системе есть и решение этого уравнения, принимающее значение при есть (напомним, что мы всегда можем предполагать отрезок отрезком на прямой Тогда функция последования период движения на замкнутой траектории Так как правые части системы а следовательно, и функции не являются аналитическими функциями, то функция тоже не является аналитической и рассуждение, которое было проведено в § 7 гл. V (опиравшееся на тот факт, что функции и могут быть разложены в ряд), здесь не может быть использовано. Однако нетрудно показать, что функция заведомо имеет непрерывные частные производные первого порядка. Отсюда в силу известных теорем следует, что функция имеет непрерывную производную по

и эта производная является решением дифференциального уравнения

Воспользовавшись этим уравнением, мы совершенно так же, как и в § 7, п. 3 гл. V, получаем:

В силу теоремы V Дополнения I функция и ее производная сколь угодно близки к функции и ее производной при достаточно малых В силу того, что замкнутая траектория является траекторией и системы мы, очевидно, имеем:

Найдем выражение для Принимая во внимание выражения для и принимая во внимание, что по условию

мы будем иметь:

и

Из этих выражений, очевидно, следует, что замкнутая траектория является для системы (А простым предельным циклом, устойчивым при и неустойчивым при

По условию

Так как

то всегда можно взять такое значение можно взять сколь угодно малым), при котором

Но при всех достаточно малых значениях функция сколь угодно мало отличается от функции поэтому всегда можно взять

фиксированное значение можно взять сколь угодно малым по абсолютной величине и любого знака), чтобы мы имели

Но если взять то мы будем иметь:

Следовательно, в этом случае всегда можно подобрать такое чтобы мы имели

Из (6.18) и (6.19) очевидно следует, что у системы кроме существует еще одна замкнутая траектория, пересекающая отрезок I при некотором значении лежащем между

Наконец, в силу того, что

всегда можно указать такое, чтобы т. е. обращается в нуль еще раз на интервале система имеет еще одну замкнутую траекторию (кроме пересекающую отрезок I на указанном интервале.

Но при любом фиксированном всегда можно указать измененную систему

правые части которой — аналитические функции х и у, столь близкую к системе чтобы мы имели также

где функция последования, аналогичная построенная для системы А тогда непременно существуют значения и такие, что

т. е. у системы существует не менее двух замкнутых траекторий, пересекающих отрезок без контакта I (в точках этого отрезка, соответствующих значениям и Выбирая достаточно малые по абсолютной величине значения и систему достаточно близкую к системе всегда можно добиться того, чтобы эта система была сколь угодно близка к системе и указанные замкнутые траектории этой системы лежали бы в сколь угодно малой окрестности траектории Но отсюда, очевидно, следует, что

система не может быть «грубой», и таким образом в случае I (сложного предельного цикла) утверждение теоремы доказано.

В случае II, т. е. в случае, когда все траектории замкнуты, рассматриваем ту же вспомогательную неаналитическую систему Как и выше, имеем:

Следовательно, функция на рассматриваемом интервале значений не равна нулю тождественно. Нетрудно видеть, что тогда у всякой системы с аналитическими правыми частями, достаточно близкой к системе соответствующая функция тоже не будет равна нулю тождественно. А это означает, что среди траекторий системы пересекающих рассматриваемую часть отрезка без контакта, существуют не только замкнутые траектории. Так как можно указать сколь угодно близкую к системе систему обладающую этим свойством, то, очевидно, система негрубая.

В случае, когда предельный цикл системы простой, т. е. для него следовательно, этот предельный цикл является «грубым», т. е. может существовать в грубых системах. В этом случае точка пересечения кривой и прямой соответствующая предельному циклу является простой точкой пересечения, т. е. в этой точке кривая не касается прямой Тогда кривая соответствующая любой функции достаточно близкой к производная которой достаточно близка к будет иметь одну и только одну сколь угодно близкую к общую точку R с прямой Отсюда, очевидно, следует, что у всякой измененной системы достаточно близкой к системе будет существовать один и только один предельный цикл сколь угодно близкий к рассматриваемому предельному циклу системы В силу того, что сколь угодно мало отличается от этот предельный цикл будет устойчив, если устойчив предельный цикл и неустойчив, если неустойчив предельный цикл

На основании этого нетрудно показать, кроме того, что разбиения некоторой окрестности предельного цикла на траектории системы

и на траектории системы мало сдвинуты одно по отношению к другому.

Отметим, что как в случае состояний равновесия, так и в случае предельных циклов требование грубости накладывает аналитическое условие на систему дифференциальных уравнений. Топологически у простых и сложных состояний равновесия и у простых и сложных предельных циклов разбиение окрестности на траектории может быть одинаково (например, у сложного нечетно-кратного предельного цикла и у простого предельного цикла).