2. Обоснование метода Ван-дер-Поля для установившихся колебаний.

Докажем теперь, что, если уравнение имеет простой корень то по любому заданному положительному, сколь угодно малому числу всегда можно найти такое достаточно малое значение параметра чтобы система (9.2) имела предельный цикл, лежащий в -окрестности окружности причем этот предельный цикл устойчив, если и неустойчив, если

Для доказательства этого утверждения мы будем предполагать ниже, что функция имеет непрерывную производную (по крайней мере в некоторой окрестности корня Это заведомо имеет место, если функция в уравнениях (9.2) имеет непрерывные производные (см. формулу (9.14а) и относящееся к ней примечание).

Предположим для определенности, что для рассматриваемого простого корня уравнения Тогда является устойчивым состоянием равновесия первого укороченного уравнения:

а на фазовой плоскости х,у имеется устойчивый предельный цикл укороченных уравнений — окружность радиуса Возьмем произвольную, достаточно малую -окрестность этой окружности (рис. 470), такую, чтобы в ней, т. е. при

где некоторое положительное число; это всегда можно сделать так как непрерывная функция и

Рассмотрим на фазовой плоскости х, у траекторию Г:

уравнений (9.2) и траекторию

укороченных уравнений, проходящие (пусть при через одну и ту же точку (здесь, как и раньше, решение укороченных уравнений (9.11)). Траектория является спиралью, скручивающейся к окружности при так как в силу (9.34) при

и, следовательно, монотонно убывает, стремясь к при Выберем такой промежуток медленного времени чтобы при и за промежуток времени — траектория делала более одного оборота и вокруг начала координат.

Рис. 470.

Согласно теореме, сформулированной в п. 1 настоящего параграфа, существует такое при котором изображающая

точка не выходит за пределы -окрестности точки на всем промежутке времени Возьмем это значение параметра в системе уравнений (9.2). При этом значении точка траектории будет, очевидно, находиться внутри заданной нами -окрестности окружности а сама траектория сделает более одного оборота вокруг начала координат за промежуток времени Так как является фазовой траекторией автономной системы (9.2) и не может в силу этого самопересекаться, то, следовательно, первая точка ее пересечения с осью точка С — будет иметь ординату

Рис. 471.

Поэтому через замкнутую кривую (рис. 471), составленную из дуги траектории и отрезка оси у, фазовые траектории системы (9.2) могут только входить (при возрастании в область, заключённую внутри этой кривой.

Совершенно так же можно построить другую замкнутую кривую состоящую из дуги траектории системы (9.2), проходящей через точку и из отрезка оси у; через эту кривую фазовые траектории системы (9.2) могут только выходить (также при возрастании в область, лежащую вне ее.

Таким образом, мы построили на фазовой плоскости х, у кольцевую область ограниченную кривыми и (рис. 471), из которой траектории системы (9.2) не могут выходить (при увеличении Так как в этой области нет состояний равновесия системы (9.2), то согласно теореме качественной теории

дифференциальных уравнений второго порядка (см. гл. VI, § 2) в этой области, т. е. в -окрестности окружности имеется устойчивый предельный цикл системы (9.2) с выбранным выше значением параметра

Доказательство существования неустойчивого предельного цикла системы (9.2) при достаточно малом лежащего в окрестности окружности где корень уравнения причем сводится к только что проведенному заменой на Таким образом, предложение, сформулированное в начале настоящего раздела § 2, доказано.

В заключение параграфа докажем, что при достаточно малых система уравнений (9.2) не имеет предельных циклов, лежащих вне малых окрестностей окружностей Другими словами, докажем, что, определяя корни уравнения (пусть они все простые), мы тем самым найдем все предельные циклы системы уравнений (9.2) с достаточно малыми значениями параметра Точнее, докажем следующее:

Пусть при тогда существуют такие достаточно малые значения параметра :

при которых система уравнений (9.2) не имеет предельных циклов в кольцевой области

Положим для определенности, что при Тогда в силу непрерывности функции (что заведомо имеет место, так как непрерывная функция) существуют такие положительные числа что при

Рассмотрим на плоскости х, у траекторию :

системы (9.2) и траекторию

укороченных уравнений, начинающиеся (пусть при в какой-либо точке окружности (рис. 472). Для решения

первого укороченного уравнения на отрезке очевидно, имеем:

т. е. для траектории на том же промежутке изменения (и при ):

Следовательно,

т. e. траектория за промежуток времени пересечет кольцевую область R и выйдет за окружность

Но согласно теореме, доказанной в первом разделе настоящего параграфа, существует такое что при любом заданном и при любых изображающая точка системы (9.2), двигающаяся по траектории не выйдет из -окрестности точки Следовательно, за промежуток времени не только кривая но и траектория системы (9.2) пересекут область R и выйдут за ее границу.

Рис. 472.

Так как кольцевая область R не содержит состояний равновесия системы (9.2) (при достаточно малых то в ней могут быть только такие замкнутые фазовые траектории (предельные циклы) системы (9.2), которые охватывают окружность система (9.2) не может иметь и таких предельных циклов, так как если бы такой цикл существовал, то он пересекался бы с траекторией той же системы уравнений (9.2), что невозможно.

Таким образом, мы доказали, что при достаточно малых система уравнений (9.2) имеет предельные циклы, близкие к окружностям

где корни уравнения и не имеет других предельных циклов.

На этом мы закончим изложение обоснования метода Ван-дер-Поля и перейдем к рассмотрению с помощью этого метода некоторых автоколебательных систем.