§ 2. Линейные системы общего типа

Рассмотрим сначала простейшие динамические системы вида (5.1), а именно те, которые отображаются системой двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

где константы, причем х и у мы будем считать декартовыми координатами на фазовой плоскости.

Как известно, общее решение системы (5.4) имеет вид

где и корни характеристического уравнения

а так называемые «коэффициенты распределения» и определяются соотношениями:

(они составляют совместную систему уравнений, поскольку — корни характеристического уравнения) или

Отметим также, что

и, следовательно, коэффициенты распределения являются корнями уравнения

Мы не будем исследовать характер движений во времени в зависимости от характера корней характеристического уравнения и не будем приводить решений к действительному виду в случае комплексных а перейдем сразу к анализу характера возможных траекторий на фазовой плоскости.

Для этой цели мы используем, подобно тому как мы это делали в гл. 1 для частного случая линейное однородное преобразование координат. Именно, с помощью линейного однородного преобразования

приведем систему (5.4) к так называемому «каноническому» виду:

где и какие-то, пока неизвестные, константы.

Нетрудно показать, что это всегда можно сделать при наших предположениях о характере корней уравнения (5.6). Дифференцируя формулы преобразования (5.10), имеем:

Заменяя здесь и их выражениями из основной дифференциальной системы (5.4), приходим к соотношениям:

Сравнивая здесь коэффициенты при х и у в правых и левых частях, приходим к системе четырех уравнений, линейных и однородных относительно :

Эти уравнения дают для решения, не равные тождественно нулю, только в том случае, если и являются корнями уравнения

т. е. корнями обычного характеристического уравнения. Каждая пара линейных однородных уравнений (5.12) определяет лишь отношение неизвестных. Первая пара определяет отношение вторая у. Так как по нашему предположению корни характеристического уравнения не равны между собой, то эти отношения не равны между собой, и, следовательно, могут быть выбраны так, чтобы детерминант

Отличие от нуля этого детерминанта обеспечивает возможность разрешения уравнений (5.10) относительно х и у и, следовательно, гарантирует взаимную однозначность преобразования. Таким образом, мы видим, что в невырожденном случае всегда возможно преобразовать нашу систему к каноническому виду.

Рассмотрим различные случаи, которые могут здесь представиться.

1) Корни и действительны и одного знака. Тогда коэффициенты преобразования действительны, и мы имеем переход от действительной плоскости, х, у к действительной плоскости (мы будем интерпретировать преобразование фазовой плоскости в активном смысле). Наша задача заключается в исследовании преобразованной фазовой плоскости где имеет силу каноническая система

и затем в истолковании полученных результатов для исходной плоскости х, у.

Деля одно из канонических уравнений на другое, имеем:

Интегрируя это уравнение, находим:

Условимся понимать под корень характеристического уравнения с ббльшим модулем (это, очевидно, не нарушает общности нашего рассмотрения). Тогда, поскольку в рассматриваемом случае и одного знака, и мы имеем дело с интегральными кривыми параболического типа (рис. 214). Все интегральные кривые (кроме оси которой соответствует касаются в начале координат оси которая также является интегральной кривой уравнения (5.13). Начало координат является особой точкой. Как мы уже знаем, это

особая точка типа узла. Нетрудно выяснить направление движений на фазовой плоскости.

Если и отрицательны, то, как видно из уравнений (5.11), убывают с течением времени. Изображающая точка с течением времени приближается к началу координат, однако никогда его не достигая в конечное время, так как это противоречило бы теореме Коши, которая для системы (5.11) справедлива на всей плоскости Мы имеем дело с устойчивым узлом. Если и положительны, то возрастают с течением времени и изображающая точка с течением времени удаляется от начала координат. Мы имеем дело с неустойчивым узлом.

Рис. 214.

Перейдем теперь обратно на фазовую плоскость х, у. Как мы знаем, при этом не меняется общий качественный характер поведения интегральных кривых вокруг состояния равновесия, но касательные к интегральным кривым в особой точке уже не будут совпадать с осями координат. Представляет интерес выяснить направления касательных к интегральным кривым в особой точке на плоскости х, у. Так как на плоскости такими касательными служили оси то для ответа на этот вопрос достаточно выяснить, каким прямым на плоскости х, у, соответствуют прямые на плоскости Из уравнений (5.10) видно, что оси (т. е. прямой на плоскости х, у соответствует прямая

проходящая через начало координат и имеющая (согласно угловой коэффициент

Аналогично оси (прямой на плоскости х, у соответствует прямая

также проходящая через начало координат, но имеющая другой угловой коэффициент:

Нетрудно видеть, что угловые коэффициенты этих прямых совпадают с коэффициентами распределения у., и определяемыми соотношениями (5.7) или (5.8), и, следовательно, могут быть найдены как корни уравнения (5.9).

Прямые служат, с одной стороны, интегральными кривыми для уравнения (подобно тому как прямые служат интегральными кривыми для уравнения С другой стороны, первая из них (она соответствует оси на плоскости служит касательной для всех интегральных кривых, кроме одной — прямой

Рис. 215.

Рис. 216.

Пользуясь всем предыдущим, нетрудно представить себе характер фазовых траекторий вокруг устойчивого (рис. 215) или неустойчивого (рис. 216) узла в общем случае, т. е. характер траекторий на фазовой плоскости когда и действительны и одинаковых знаков.

2) Корни и действительны, но разных знаков. Преобразование от координат х, у к координатам опять действительное. На плоскости точно так же имеет место каноническая система:

однако теперь и разных знаков.

Уравнение кривых на фазовой плоскости имеет вид

Интегрируя это уравнение, находим:

Это уравнение определяет семейство кривых гиперболического типа, имеющих обе оси координат асимптотами (при мы имели бы семейство обычных равнобочных гипербол). Оси координат и в этом случае являются интегральными кривыми; это будут единственные интегральные кривые, проходящие через начало координат (рис. 217).

Начало координат и здесь, конечно, является особой точкой. Особая точка такого типа, как мы уже знаем, носит название «седла» (линии уровня вблизи горной седловины ведут себя как раз таким образом).

Известные уже нам соображения позволяют в этом случае установить характер движения изображающей точки по фазовым траекториям вблизи состояния равновесия. Пусть, например, Тогда изображающая точка, помещенная на оси будет удаляться от начала координат, а помещенная на оси будет неограниченно приближаться к началу координат, не достигая его в конечное время. Направления движений по остальным фазовым траекториям легко указать, пользуясь соображениями непрерывности (рис. 217).

Как мы уже знаем, особая точка типа седла неустойчива. Переходя теперь обратно к координатам х, у, мы получим в силу уже много раз использованных соображений ту же самую качественную картину характера траекторий вокруг начала координат (рис. 218). Как и в предыдущем случае, угловые коэффициенты прямых, проходящих через особую точку (сепаратрис седла), даются уравнением

Пограничным между рассмотренными случаями узла и седла является случай, когда один из корней характеристического уравнения (5.6)

обращается в нуль, что имеет место при этом случае коэффициенты правых частей уравнений (5.4) пропорциональны друг другу система уравнений (5.4) имеет своими состояниями равновесия все точки прямой

Рис. 217.

Рис. 218.

Остальные интегральные прямые составляют семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом по которым изображающие точки либо приближаются к состояниям равновесия, либо удаляются от них в зависимости от знака второго корня характеристического уравнения (рис. 219)

Рис. 219.

3) - комплексные сопряженные. Нетрудно видеть, что тогда при действительных х и у мы будем иметь комплексно сопряженные и Однако, вводя еще одно промежуточное преобразование, легко можно и в этом случае свести рассмотрение

к действительному линейному однородному преобразованию. Положим где действительные величины. Тогда можно показать, что преобразование от х, у к является при наших предположениях действительным, линейным, однородным, с детерминантом, отличным от нуля.

В силу уравнений (5.19) имеем:

откуда

Для исследования этой системы дифференциальных уравнений рассмотрим прежде всего вид интегральных кривых на фазовой плоскости. Дифференциальное уравнение этих кривых

легче интегрируется после перехода к полярной системе координат. Именно, в полярной системе после подстановки получим:

откуда

Таким образом, мы видим, что на фазовой плоскости мы имеем дело с семейством логарифмических спиралей, каждая из которых имеет асимптотическую точку в начале координат. Начало координат — особая точка типа фокуса (рис. 220).

Установим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям. Умножая первое из уравнений (5.20) на и, второе на и складывая, получаем:

Таким образом, при изображающая точка непрерывно приближается к началу координат, не достигая его, однако, в конечное время (так как это противоречило бы теореме Коши), и значит, при мы имеем дело с устойчивым фокусом.

Если же , то изображающая точка непрерывно удаляется от начала координат; мы имеем дело с неустойчивым фокусом.

При переходе от плоскости к исходной фазовой плоскости х, у спирали также останутся спиралями, однако будут деформированы (рис. 221).

Рис. 220.

Рис. 221.

При фазовыми траекториями на плоскости будут окружности которым на плоскости х, у соответствуют эллипсы

(заметим, что имеет место при этом случае мы имеем дело с особой точкой типа центра (рис. 222).

Сформулируем теперь результаты нашего исследования. В рассматриваемой общей линейной системе в случае отсутствия вырождения (т. е. при могут быть шесть типов состояний равновесия в зависимости от характера корней характеристического уравнения:

1) Устойчивый узел действительны и отрицательны).

2) Неустойчивый узел действительны и положительны).

3) Седло действительны и разных знаков).

4) Устойчивый фокус комплексны и

5) Неустойчивый фокус комплексны и

6) Центр мнимые).

Первые пять типов состояний равновесия являются «грубыми»: их характер не изменяется при достаточно малых изменениях правых частей уравнений (5.4) (малыми должны быть изменения не только правых частей, но и их производных первого порядка).

Связь между типами состояний равновесия и характером корней характеристического уравнения может быть представлена наглядно следующим образом.

Введем обозначения:

Тогда характеристическое уравнение запишется в виде

Для различных будем иметь различные корни Рассмотрим плоскость с прямоугольными декартовыми координатами и отметим на этой плоскости области, соответствующие тому или другому характеру состояния равновесия (рис. 223).

Рис. 222.

Рис. 223.

Условием устойчивости состояния равновесия является, как нетрудно видеть, наличие отрицательной действительной части Необходимым и достаточным условием для этого являются неравенства На нашей диаграмме этому условию соответствуют точки, расположенные в первой четверти. Особая точка будет типа фокуса, если комплексны. Этому условию удовлетворяют те

точки плоскости а, А, для которых точки, лежащие между ветвями параболы Точки полуоси соответствуют состояниям равновесия типа центра. Аналогично и будут действительны, но разных знаков, т. е. особая точка будет типа седла, если . В итоге мы получим диаграмму разбиения плоскости параметров на области, соответствующие различным типам состояний равновесия (рис. 223). Если коэффициенты линейной системы зависят от некоторого параметра, то при изменении этого параметра будут меняться соответственно и На плоскости мы будем иметь, таким образом, некоторую кривую, переходящую при некоторых бифуркационных значениях параметра из одной области в другую. На диаграмме видно, как могут происходить такие переходы. Если исключить особые случаи (прохождение через начало координат), то нетрудно видеть, что седло может перейти в узел, устойчивый или неустойчивый; устойчивый узел может перейти либо в седло, либо в устойчивый фокус, и т. д. Заметим (это нам понадобится в дальнейшем), что случай равных корней соответствует границе между узлами и фокусами. Если коэффициенты линейной системы зависят от двух параметров, то обычно бывает целесообразно построить плоскость этих параметров и на ней построить диаграмму, соответствующую только что рассмотренной.