2. Грубые состояния равновесия.

Установим прежде всего, какие ограничения накладывает требование грубости на существующие в этой системе состояния равновесия.

Имеет место следующая теорема:

Теорема I. У грубой системы не может быть состояния равновесия, для которого

Действительно, если состояние равновесия таково, что для него то это, очевидно, означает, что кривые в их общей точке не просто пересекаются, а имеют соприкосновение того или другого порядка. Нетрудно показать что в этом случае всегда найдутся аналитические функции

сколь угодно близкие (вместе со своими частными производными) к функциям такие, что в сколь угодно малой окрестности точки (т. е. при любом сколь угодно малом кривых

будет существовать более одной общей точки. А это, очевидно, и означает, что система не может быть грубой, и следовательно, теорема доказана.

В случае, когда изоклины

в общей точке имеют простую точку пересечения (такие состояния равновесия называются простыми).

Нетрудно показать в этом случае, что если взять функции достаточно близкие (вместе со своими производными) к функциям то кривые будут иметь только одну общую точку, близкую к точке Однако отсюда еще не следует, что условие является достаточным для того, чтобы состояние равновесия было «грубым», т. е. могло существовать в грубой системе; мы уже видели, что линейная система, у которой состояние равновесия есть центр, — негрубая, хотя Этот вопрос требует дополнительного рассмотрения, к которому мы и перейдем.

Перечислим состояния равновесия, возможные при условии Если обозначить

то, как мы видели выше (см. § 2 и 4 гл. V), возможны следующие случаи:

1) . Корни характеристического уравнения действительные и одинаковых знаков. Состояние равновесия — узел (устойчивый или неустойчивый в зависимости от знака ).

2) . Корни характеристического уравнения действительные и разных знаков. Состояние равновесия — седло.

3) . Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные. Состояние равновесия есть фокус (устойчивый или неустойчивый в зависимости от знака о).

Нетрудно убедиться в том, что в случаях 1), 2) и 3) состояние равновесия является «грубым», т. е. может существовать в грубой системе. В дальнейшем мы остановимся на этом несколько подробнее.

4) . Корни характеристического уравнения чисто мнимые. В этом случае характер состояния равновесия в общем виде

не был установлен (для линейной системы состояние равновесия, у которого корни чисто мнимые, есть центр).

Мы рассмотрим этот случай подробно (он рассматривается значительно сложнее, чем случаи 1), 2) и 3)) и покажем, что в этом случае состояние равновесия всегда является «негрубым», т. е. не может существовать в грубой системе.

Метод, с помощью которого мы будем устанавливать характер состояния равновесия в случае 4), применим также и в случае 3). А так как единообразное рассмотрение этих двух случаев удобно для дальнейшего, то мы положим сейчас, что корни характеристического уравнения — комплексные сопряженные.

Предполагая, что состояние равновесия О совпадает с началом координат, и приводя надлежащим линейным преобразованием переменных систему к каноническому виду, получаем:

где ряды, расположенные по степеням х и у, начинающиеся с членов не ниже второй степени, а действительная и мнимая части корней характеристического уравнения, так что где при мы имеем случай 3), а при случай 4).

Функции и могут быть представлены в виде:

где и однородные многочлены степени

Переходя в системе (см. (6.7)) к полярным координатам, получим:

Так как то при всех достаточно малых т. е. при всех достаточно малых х и у,

Это, очевидно, означает, что любая полупрямая

во всех достаточно близких к началу координат точках (отличных от начала координат) не имеет контактов с траекториями, при этом в зависимости от знака будем иметь: либо либо 0.

Нам удобнее будет в дальнейшем рассматривать вместо системы (6.8) одно уравнение, получающееся делением первого из уравнений (6.8) на второе:

Принимая во внимание, что знаменатель правой части этого уравнения не обращается в нуль при мы, очевидно, можем разложить правую часть по степеням

где коэффициенты периодические функции с периодом и ряд в правой части сходится при всех во всяком случае для всех достаточно малых значений Нетрудно видеть, что

Пусть

— решение уравнения (6.9), обращающееся в при так что

Очевидно, всякому такому решению уравнения (6.9) соответствует траектория системы пересекающая полупрямую в точке, лежащей на расстоянии от начала; и обратно, всякой траектории, пересекающей полупрямую в достаточно близкой к началу точке, соответствует решение где принимает некоторое данное значение. Кроме того, нетрудно видеть, что все

отличные от состояния равновесия О траектории, проходящие через достаточно близкие к О точки, пересекают прямую в достаточно близких от начала точках. Поэтому, рассматривая решение при всех достаточно малых мы рассмотрим все траектории, проходящие через достаточно близкие к О точки. В силу того, что правая часть уравнения (6.9) — аналитическая функция функция будет аналитической функцией теорему III Дополнения I) и может быть разложена в ряд по степеням сходящийся при всех для всех достаточно малых значений где некоторая достаточно малая величина):

Так как есть решение уравнения (6.9), то, подставляя выражение (6.11) в это уравнение, мы должны получить тождественное относительно равенство, т. е.

Отсюда, приравнивая выражения при одинаковых степенях мы получим рекуррентные дифференциальные уравнения для определения функций

Кроме того, из условия

мы, очевидно, получаем:

Этими начальными условиями совместно с дифференциальными уравнениями (6.12) функции определяются полностью. В частности, первое из этих уравнений дает:

откуда, в частности, следует, что при

Так как во всех достаточно близких к началу О точках (отличных от О) прямая не имеет контактов с траекториями системы то достаточно малый отрезок этой прямой с концом в точке О будет вполне аналогичен отрезку без контакта, хотя один конец его упирается в состояние равновесия. Если в решении положить то, очевидно, при всяком данном значение соответствует «последующей» точке пересечения траектории с полупрямой а функция будет полностью аналогична функции последования, о которой шла речь в § 7 гл. При этом, конечно, мы должны рассматривать только положительные значения так как отрицательные значения не имеют геометрического смысла. Пользуясь этой функцией, мы можем сделать исчерпывающие заключения относительно возможного характера траекторий в окрестности состояния равновесия О.

Введем функцию

Здесь

Очевидно, значения (и только такие значения), при которых

соответствуют замкнутым траекториям.

Отметим, что при т. е. в случае 4), мы имеем Кроме того, коэффициенты в разложении функции обладают следующими свойствами: если то непременно и

И вообще, если то непременно и т. е. первый не равный нулю коэффициент всегда нечетного номера.

Возможны следующие два случая:

а) Хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

Пусть первый из отличных от нуля коэффициентов (в силу предыдущего непременно нечетное). Тогда при всех достаточно малых

отлично от нуля. В этом случае все траектории, проходящие через достаточно близкие к О точки, являются спиралями, стремящимися к состоянию равновесия О либо при (когда т. е. когда при всех достаточно малых или когда т. е. либо при (когда и т. е. когда при всех достаточно малых или когда т. е.

Состояние равновесия имеет характер фокуса. Этот фокус может быть устойчивым или неустойчивым (в зависимости от знаков Случай т. е. был уже рассмотрен. В случае 1 мы будем называть состояние равновесия сложным фокусом кратности или -кратным фокусом.

б) Все коэффициенты а; равны нулю.

В этом случае следовательно, все траектории, проходящие через достаточно малую окрестность О, замкнуты. Состояние равновесия О есть центр.

Указанные два случая, очевидно, исчерпывают все возможности, ксюрые могут здесь представиться.

Мы покажем ниже, что в грубой системе не может быть сложного фокуса и центра. Для этого сделаем некоторые предварительные замечания.

Пусть наряду с системой рассматривается измененная система достаточно близкая к системе вида:

Вводя полярные координаты, а затем переходя, как и выше при рассмотрении системы от системы к одному уравнению, мы получим соответствующее системе дифференциальное уравнение

аналогичное уравнению (6.9).

Если

— решение уравнения (6.14), то, очевидно, для определения функций мы получим такие же рекуррентные дифференциальные уравнения, как и для определения нужно только в них вместо подставить

В частности (так же как и в случае уравнения (6.9)),

Будем, как и в случае системы рассматривать функцию последования:

а также функцию

Предположим, что построенная для исходной системы функция

определена при всех значениях , удовлетворяющих неравенству: некоторая положительная постоянная).

На основании теоремы V Дополнения I нетрудно показать, что у всякой системы достаточно близкой к системе функция

также определена при всех значениях и при этих значениях сколь угодно близка к функции а производная ее сколь угодно близка к производной от функции

После этого замечания перейдем к доказательству следующей теоремы.

Теорема II. У грубой системы не может быть состояния равновесия, для которого

Для доказательства теоремы предположим противное, т. е. предположим, что у системы являющейся грубой, есть состояние равновесия, для которого

Если предположить, как и выше, что состояние равновесия лежит в начале координат, то система может быть в этом случае приведена к виду:

Для нее возможны два указанных случая а) и б), т. е. состояние равновесия О может быть либо сложным фокусом, либо центром.

Покажем, что в обоих случаях можно указать сколь угодно близкую к системе измененную систему, у которой разбиение на траектории некоторой области, содержащей начало, качественно отлично от разбиения этой области на траектории, заданного системой Для этого рассмотрим измененную систему (А):

у которой (знак а будет фиксирован дальше).

Пусть

- введенные выше функции, построенные соответственно для систем и определенные при всех

Рассмотрим отдельно случаи а) и б), которые возможны для системы

а) Состояние равновесия системы есть «южный фокус. В этом случае не все коэффициенты в разложении обращаются в нуль. Пусть первый не обращающийся в нуль коэффициент, так что

Предположим для определенности, что т. е. что сложный фокус системы устойчив (совершенно аналогично рассматривается случай, когда сложный фокус неустойчив). В этом случае функция имеет вид:

и всегда можно указать столь малое чтобы мы имели

Но всегда можно взять измененную систему (см. (6.16)) столь близкой к системе чтобы соответствующая функция при всех была сколь угодно близка к функции так что мы имели бы

С другой стороны, знак функции

для всех достаточно малых (очевидно, заведомо меньших совпадает со знаком

Если взять то следовательно, заведомо можно указать столь малое при котором

Таким образом, мы имеем:

и, следовательно, непременно существует такое, что Это, очевидно, означает, что через точку полупрямой соответствующей значению проходит замкнутая траектория — предельный цикл — системы Нетрудно убедиться в том, что чем меньше 2, тем в меньшей окрестности точки О он лежит.

Если бы система была грубой, то в любой, достаточно малой окрестности О разбиения на траектории, заданные системой и рассматриваемыми системами (см. (6.16)), должны были быть тождественными. Но это, очевидно, невозможно, так как мы всегда можем взять окрестность точки О такой, чтобы в ней не лежало ни одного предельного цикла системы а в силу предыдущего при достаточно малом в этой окрестности заведомо будет лежать предельный цикл системы

Перейдем теперь ко второму возможному для системы случаю,

б) Состояние равновесия О системы есть центр. При состояние равновесия О системы является фокусом (устойчивым или неустойчивым в зависимости от знака а). Следовательно, состояние равновесия О имеет различный характер у систем и

и система не может быть грубой. Таким образом, теорема доказана.

Из доказанных теорем I и II, очевидно, следует, что у грубой системы возможны только простые состояния равновесия типа 1), 2) и 3). Эти состояния равновесия — «грубые» в том смысле, что разбиения некоторой достаточно малой окрестности такого состояния равновесия на траектории исходной системы и на траектории всякой достаточно близкой к ней системы топологически тождественны и мало сдвинуты одно по отношению к другому. В частности, когда состояние равновесия О системы седло, состояние равновесия О системы тоже седло и сепаратрисы седла О мало сдвинуты по сравнению с сепаратрисами седла О системы