1. Двухпозиционный регулятор температуры.

Первым примером будет двухпозиционный (релейный) регулятор температуры, схема которого изображена на рис. 192. Для температуры печи (мы будем считать ее одинаковой по всему объему печи и будем отсчитывать от температуры окружающей среды) имеем следующее уравнение теплового баланса:

где -теплоемкость печи (мы будем считать ее не зависящей от температуры), мощность, подводимая к печи со стороны нагревателя, мощность теплоотдачи печи во внешнюю среду (приближенно можно считать, что мощность теплоотдачи пропорциональна разности температур печи и внешней среды, т. е. что справедлив так называемый закон теплоотдачи Ньютона; коэффициент К называется коэффициентом теплоотдачи). Температура печи измеряется термопарой (или каким-либо другим измерителем температуры), которая через регулятор и исполнительный орган управляет мощностью, подводимой к печи.

Рис. 192.

Рис. 193.

Рассмотрим двухпозиционный регулятор, т. е. регулятор типа «включено — выключено», который в зависимости от температуры печи или полностью выключает нагреватель или включает его на определенную мощность Характеристика такого регулятора изображена на рис. 193. Она всегда имеет гистерезисный характер: если включение нагревателя печи происходит при температуре печи то его выключение происходит при температуре на интервале температур характеристика регулятора двузначна.

В соответствии с этой двузначностью характеристики регулятора фазовой линией системы (печи с регулятором) будет линия «с наложением» (рис. 193), состоящая из двух полупрямых, одна из которых соответствует выключенному, а другая включенному нагревателю. При этом переход изображающей точки с полупрямой (I) на полупрямую (II) происходит только в точке в а обратный — только в точке а Фазовая линия имеет замкнутый участок абвга, и если система имеет периодическое движение, фазовой траекторией, соответствующей этому движению, может быть только замкнутая кривая абвга (так как других замкнутых фазовых траекторий фазовая линия не допускает).

Решение уравнения (4.25) при выключенном нагревателе изображающая точка находится на полупрямой очевидно, записывается в виде

а при включенном нагревателе изображающая точка находится на полупрямой в виде

При -это та температура, которая установилась бы в печи при всегда включенном нагревателе) система имеет единственное состояние равновесия

(оно лежит на полупрямой В этом случае, как нетрудно убедиться, при любых начальных условиях в системе установится это состояние равновесия. Равновесная температура будет зависеть как от мощности нагревателя (от ), так и от условий теплоотдачи

(от К), и будет изменяться при их изменении, так как нагреватель при температурах, близких к всегда включен.

Пусть теперь

В этом случае на всей полупрямой а на полупрямой (последнее, конечно, имеет место всегда). Поэтому на фазовой линии нет никаких состояний равновесия и изображающая точка после первого же переключения регулятора будет описывать замкнутую фазовую траекторию абвга. В системе установится автоколебательный режим. Температура печи при этих колебаниях будет колебаться в пределах от до т. е. в пределах зоны двузначности характеристики регулятора. В таком автоколебательном режиме температура печи не выходит за пределы этой зоны (а она может быть сделана достаточно узкой), несмотря на возможные изменения мощности нагревателя или изменение условий теплоотдачи.

Рис. 194.

На рис. 194 изображена осциллограмма колебаний температуры (для определенности начальная температура взята равной нулю). Она составлена из кусков экспонент (4.26) и (4.27), «сшитых» так, чтобы температура была непрерывной функцией времени. Периодические колебания являются «релаксационными», т. е. сильно отличающимися по своей форме от гармонических, и носят «пилообразный» характер.

Найдем период автоколебаний. Интервал времени в течение которого нагреватель выключен и температура изменяется от до определяется согласно (4.26) соотношением

откуда

Аналогично интервал времени в течение которого нагреватель

включен и температура возрастает от до определяется в согласии с (4.27) выражением

или

Таким образом, период автоколебаний

или

Ясно, что чем же зона двузначности характеристики регулятора (чем ближе к тем меньше период автоколебаний, тем чаще происходят переключения регулятора (включения и выключения нагревателя печи).