2. Первая основная теорема о множестве предельных точек полутраектории.

Докажем теперь следующую теорему, которая позволяет ввести понятие предельной траектории.

Теорема о предельной траектории. Если есть предельная точка полутраектории то и все точки траектории L, проходящей через точку являются предельными для

Мы всегда можем предполагать, что траектория L отличается от состояния равновесия, так как в случае, когда состояние равновесия, справедливость утверждения теоремы очевидна. Пусть какая-нибудь отличная от точка траектории L, проходящей через точку Траектории L соответствует

бесчисленное множество движений, отличающихся друг от друга лишь выбором начала отсчета времени, и очевидно, какое бы движение мы ни выбрали, разность значений соответствующих данным точкам всегда одна и та же; обозначим эту разность через Возьмем любое и рассмотрим -окрестность точки В силу теоремы о непрерывной зависимости от начальных условий для всякого всегда можно указать такое чтобы всякая траектория, проходящая при через какую-либо точку -окрестности точки проходила бы при значении через некоторую точку -окрестности точки Так как точка является предельной точкой для то на существует бесконечное множество точек соответствующих неограниченно возрастающим значениям и находящихся в -окрестности точки Но тогда на будет также существовать бесконечное множество точек соответствующих тоже неограниченно возрастающим значениям и лежащих в -окрестности точки При этом в случае, когда всегда можно начать со столь большого чтобы мы имели так точки заведомо принадлежали бы полутраектории Но можно взять сколь угодно малым, и следовательно, точка является предельной для полутраектории Так как в качестве точки можно взять любую точку траектории L, то, очевидно, всякая ее точка является предельной для Таким образом теорема доказана.

Траекторию L мы будем называть предельной траекторией для полутраектории или просто предельной траекторией. Очевидно, все точки L будут либо точками области О, либо точками границы т. е. L лежит в ограниченной части плоскости. Когда предельная точка траектории L является точкой самой этой траектории, то L называется самопредельной траекторией. В силу предыдущего, состояния равновесия и замкнутая траектория являются самопредельными.

Прежде чем переходить к доказательству общих теорем относительно возможного характера предельных траекторий — теорем, которые представляют для нас сейчас наибольший интерес, напомним, что называется замкнутым множеством (в теоретико-множественном смысле), и введем понятие связного множества. Как известно, множество точек (на плоскости) называется замкнутым, если оно содержит все свои точки сгущения. Таким образом, если последовательность точек, принадлежащих данному замкнутому множеству К, стремится к некоторой точке то эта точка непременно является точкой множества К. Замкнутое множество называется связным, если оно не может быть представлено как сумма двух замкнутых множеств, не имеющих друг с другом общих точек. Заметим, что если мы имеем два замкнутых множества без общих точек, то наименьшее из расстояний между любыми двумя точками, из которых одна принадлежит одному множеству, а другая — другому, отлично от нуля.

Пусть К — множество всех предельных точек данной полутраектории Следующая основная теорема характеризует это множество.

Первая основная теорема. Множество предельных тояек данной полутраектории является замкнутым, связным и состоит из целых траекторий.

Докажем, что множество К замкнутое (в теоретико-множественном смысле), т. е. что всякая точка сгущения множества К принадлежит К. Пусть точка сгущения множества К. Тогда по самому определению точки сгущения в любой ее окрестности есть точки К, т. е. предельные точки полутраектории а следовательно и точки самой полутраектории соответствующие сколь угодно большим значениям А это и означает, что есть предельная точка полутраектории

Для доказательства того, что множество К связное, предположим противное, т. е. предположим, что оно несвязное и, следовательно, в силу того, что оно является замкнутым, может быть представлено в виде суммы двух замкнутых множеств и без общих точек (при этом множества содержат все предельные точки Наименьшее расстояние между двумя точками, одна из которых принадлежит множеству а другая множеству отлично от нуля. Пусть это расстояние. Возьмем и рассмотрим -окрестности множеств которые также не имеют общих точек. Так как точки множеств являются предельными для полутраектории то в их -окрестностях непременно лежат бесконечные последовательности точек этой полутраектории, соответствующие неограниченно возрастающим значениям Но тогда в силу непрерывности полутраектории и вне -окрестностей множеств должно лежать бесчисленное множество точек полутраектории соответствующих неограниченно возрастающим значениям Так как по предположению полутраектория лежит в ограниченной части плоскости, то эти точки должны иметь хотя бы одну точку сгущения Поскольку они соответствуют неограниченно возрастающим значениям то будет предельной точкой полутраектории Точка не может принадлежать ни множеству К, ни множеству (так как точка лежит либо вне -окрестностей множеств либо, в крайнем случае, на границе этих -окрестностей), и следовательно, должны существовать предельные точки, отличные от точек множеств что противоречит сделанному предположению. Таким образом, второе утверждение теоремы доказано.

Последнее утверждение теоремы — о том, что множество предельных точек полутраектории состоит из целых траекторий, — очевидно, непосредственно следует из предыдущей теоремы.

Так как в силу сделанных предположений число состояний равновесия у рассматриваемой нами системы во всякой ограниченной области фазовой плоскости конечно, то из доказанной теоремы следует, в частности, что в том случае, когда среди предельных точек полутраектории нет точек, отличных от состояний равновесия, эта полутраектория будет иметь? одну и только одну предельную

точку — одно состояние равновесия. Очевидно также, что если К есть множество всех предельных точек данной полутраектории, то при любом сколь угодно малом все точки этой полутраектории, соответствующие значениям где -зависящая от величина, будут лежать в -окрестности множества К.

Мы доказали первую основную теорему для случая траекторий на фазовой плоскости, однако она справедлива и для траекторий на любой фазовой поверхности (например, на торе), а также в фазовом пространстве измерений (в случае системы уравнений первого порядка).