§ 9. Теория бифуркаций в случае автоколебательной системы, близкой к линейной консервативной системе

Мы рассматриваем по-прежнему автоколебательную систему с одной степенью свободы, близкую к линейной консервативной системе, и полагаем, что поведение этой автоколебательной системы существенно зависит от какого-нибудь параметра, которому мы можем придавать различные фиксированные значения. Уравнение движения системы в таком случае может быть записано в виде:

где координата системы (например, смещение, напряжение малый параметр, который характеризует степень близости рассматриваемой автоколебательной системы к линейной консервативной системе, тот параметр (например, коэффициент взаимоиндукции и т. д.), влиянием изменений которого на рассматриваемую систему мы интересуемся, нелинейная функция, определяемая физической природой сопротивлений и устройств, доставляющих энергию системе. Перейдем к исследованию уравнения (9.91), предполагая достаточно малым.

Пользуясь методами малого параметра (методом Ван-дер-Поля или методом Пуанкаре), мы показали, что при но достаточно малом на плоскости останутся, вообще говоря, только изолированные замкнутые кривые, близкие к окружностям, радиусы которых К определяются уравнением

где

Остальные интегральные кривые не будут замкнутыми — это будут спирали, мало отличающиеся от окружностей, если достаточно мало. Как мы видели, периодические движения, соответствующие изолированным замкнутым интегральным кривым — предельным циклам Пуанкаре, — будут устойчивы (и орбитно и по Ляпунову), если выполнено неравенство

Таким образом, условия (9.92) и (9.93) представляют полную аналогию с условиями, которые мы имели для состояния равновесия консервативной системы (гл. II, § 5), только вместо координат особых точек мы должны рассматривать амплитуды стационарных движений, к которым относятся как предельные циклы, близкие в этом случае к кругам, так и особая точка

Итак, для зависимости стационарных движений от параметра мы действительно получаем ту же самую картину, которую мы имели в гл. II, § 5 для зависимости состояний равновесия от параметра. Мы здесь получаем снова «линейные ряды», теперь уже не состояний равновесия, а стационарных движений, которые сохраняют свою устойчивость или неустойчивость до слияния с другими линейными рядами, т. е. до точек бифуркации. «Линейные ряды» стационарных движений задаются уравнением (9.92). Их устойчивость может быть определена так же, как и в § 5 гл. II: на плоскости отмечается область, где тогда линейный

ряд, расположенный над этой областью, соответствует устойчивым стационарным движениям, а ряд, расположенный под областью неустойчивым стационарным движениям (периодическим движениям или состояниям равновесия).

Как мы увидим дальше, точки бифуркации имеют важное физическое значение: это те значения параметра, при которых происходят качественные изменения происходящих в системе процессов, например возникновение колебаний, срыв колебаний и т. п.

Стационарные движения, о которых мы сейчас говорили, подобно состояниям равновесия консервативных систем образуют замкнутую систему элементов, между которыми происходит «обмен устойчивостью».

Прежде чем перейти к рассмотрению какого-либо конкретного примера с точки зрения теории бифуркаций, заметим, что в ряде задач исследование зависимости характера движения системы от параметра удобно проводить не на плоскости а на плоскости где

— квадрат амплитуды стационарного движения, если вместо функции рассматривать функцию

тогда линейные ряды стационарных движений определятся уравнением

а их устойчивость — условием