2. Однозначный аналитический интеграл и консервативность.

До сих пор мы рассматривали такие консервативные системы, для которых справедливы уравнения Гамильтона. Между тем с точки зрения характера фазовой плоскости, или в более общем случае фазовой поверхности, а следовательно, и характера возможных движений в системе было бы естественно к числу консервативных отнести также и некоторые системы, для которых уравнения Гамильтона несправедливы. Мы дадим поэтому более общее определение консервативных систем и установим некоторые свойства консервативных систем, которые из этого определения вытекают.

Каждой динамической системе соответствует топологически вполне однозначно некоторая фазовая поверхность с расположенной на ней сеткой фазовых траекторий, так что каждой точке фазовой поверхности соответствует вполне определенное состояние системы и обратно; соответствие это взаимно непрерывно и взаимно однозначно. Необходимым признаком консервативности системы мы будем считать существование однозначного интеграла вида

где координаты, определяющие положение точки на фазовой плоскости. Во избежание излишних рассуждений мы предположим, что функция однозначная аналитическая функция, по существу задачи она не может тождественно равняться постоянной величине. Рассматривая С как третью координату, откладываемую по нормали к фазовой поверхности, мы можем интерпретировать уравнение (2.59) как уравнение некоторой новой поверхности, построенной над фазовой поверхностью. Построенная таким образом поверхность обладает тем свойством, что линии равного уровня (уровень отсчитывается по оси С) суть интегральные кривые. В том случае, когда фазовая поверхность представляет собой плоскость, линии равного уровня, т. е. интегральные кривые, представляют собой пересечение поверхности с плоскостью, параллельной фазовой плоскости и определяемой уравнением где С — координата, а константа (рис. 103).

Зная одну такую поверхность, можно построить их бесчисленное множество. Действительно, нас интересуют исключительно сами линии равного уровня, их относительная высота нас совершенно не интересует. Следовательно, мы можем по какому угодно закону изменять

«масштаб» оси С, произвольным образом сжимая или растягивая его на отдельных участках. Мы будем получать все новые и новые поверхности, причем все они будут обладать тем свойством, что линии равного уровня суть интегральные кривые.

Рис. 103.

На аналитическом языке это означает тот очевидный факт, что если есть интеграл некоторого уравнения, то и также будет интегралом этого уравнения.

Особые точки кривых равного уровня соответствуют особым точкам системы интегральных кривых: так, изолированные точки кривых равного уровня соответствуют центру; узловые точки — седлу; точки заострения — особым точкам, получаемым от слияния центра и седла. Дифференциальное уравнение интегральных кривых, как это следует из уравнения (2.59), имеет вид

Особые точки соответствуют тем значениям для которых одновременно и обращаются в нуль. Может случиться, что и обращаются одновременно в нули не только в изолированных точках, но и вдоль некоторой аналитической кривой. Покажем, что такая кривая непременно является интегральной, т. е. что точки этой кривой удовлетворяют уравнению Предположим, что кривая, о которой идет речь, дана в параметрической форме:

Тогда

или, так как , то

откуда

т. e. вдоль кривой сохраняет постоянное значение. Нетрудно видеть, что такой случай имеет место, если соответствующая кривая равного наклона состоит из точек, в которых касательная плоскость параллельна фазовой поверхности, как, например, когда поверхность имеет вид кратера, края которого лежат на одном уровне (рис. 104).

Рис. 104.

Ни одна из особых точек не может быть такого типа, чтобы через нее проходило бесконечное множество интегральных кривых, сплошь заполняющих некоторую часть плоскости, ибо в этом случае все кривые должны были бы быть одного уровня; в силу аналитичности в этом случае вообще была бы постоянной, что противоречит поставленному условию. Отсюда мы можем заключить, что особые точки в консервативной системе не могут быть ни узлами, ни фокусами. Совершенно аналогичными рассуждениями можно показать, что в консервативной системе не может быть замкнутой интегральной кривой, на которую бы другие интегральные кривые навивались. Далее можно утверждать, что если существует одна замкнутая траектория, то их обязательно существует целый континуум, сплошь заполняющий часть плоскости; это следует непосредственно из того, что фазовые траектории представляют собой линии уровня непрерывной поверхности Поэтому не может существовать одна изолированная замкнутая траектория, ибо если одна линия уровня на непрерывной поверхности замкнута, то и все близкие линии уровня также должны быть замкнуты.

Перейдем. теперь к исследованию движения во времени по этим траекториям. Поскольку уравнение (2.60) представляет собой результат исключения времени из уравнений движения, то, для того чтобы вернуться к уравнениям движения в их общем виде, мы должны принять во внимание, что вместе с исключением времени могла исчезнуть некоторая функция входящая множителем

в оба уравнения. Следовательно, уравнения движения в общем виде могут быть написаны таким образом:

Эти более общие уравнения консервативной системы носят название уравнений Пфаффа. Относительно мы предположим, что это — однозначная аналитическая функция на всей плоскости не обращающаяся в нуль ни для каких конечных значений

Можно было бы сделать более общие предположения о функции например допустить, что эта функция может обращаться в нуль или терять голоморфность вдоль изолированных кривых. Соответствующие уравнения довольно часто встречаются на практике как идеальные модели реальных систем, и эти модели в ряде случаев (например, в некоторых случаях, когда вышеупомянутые изолированные кривые совпадают с фазовыми траекториями) несомненно заслуживают отнесения к классу консервативных систем. Однако мы не будем проводить здесь исследование и классификацию таких «патологических» случаев, а ограничимся лишь несколькими замечаниями, касающимися терминологии, и рассмотрением примера (пункт 6 настоящего параграфа).

Легко видеть, что в частном случае

мы получаем уравнения типа Гамильтона:

Здесь согласно общепринятым обозначениям обозначено через Уравнения Гамильтона, как мы видели, имеют однозначный интеграл обычно представляющий интеграл энергии (однако, как уже указывалось, это бывает не всегда).

Уравнения (2.61) эквивалентны уравнению

которое, как известно, всегда допускает интегрирующий множитель. Поэтому формально всякую динамическую систему, описываемую двумя дифференциальными уравнениями первого порядка, можно привести к виду (2.61). Однако не все системы, описываемые этими уравнениями, консервативны. Причина этого лежит в том, что в случае, когда консервативная система описывается уравнениями типа (2.61), на функции налагаются определенные условия (однозначность, аналитичность и т. д.). Когда в классической механике рассматривают

гамильтоновы уравнения, то там есть энергия, и поэтому эти условия обычно автоматически удовлетворяются.

Заметим, что если динамическая система задана дифференциальными уравнениями общего вида

то не существует общих методов, которые позволили бы установить, консервативна ли описываемая этими уравнениями система или нет. Часто неконсервативность системы можно установить сразу, например доказав существование абсолютно устойчивых или неустойчивых состояний равновесия. Вообще же установить консервативный характер интегральных кривых можно, только найдя каким-нибудь способом однозначный интеграл системы.