§ 5. Зависимость поведения простейшей консервативной системы от параметра

Мы уже говорили, что консервативная система представляет собой исключительную систему в том смысле, что для нее существует интеграл энергии. Иначе говоря, если мы произвольным образом, хотя бы и сколь угодно мало, будем менять вид уравнений движения, то эти уравнения, вообще говоря, перестанут удовлетворять условию консервативности. Мы, однако, сейчас будем рассматривать только такие изменения параметров, характеризующих нашу систему, при которых она остается консервативной. Для простоты предположим, что у нас есть только один переменный параметр и что от этого параметра зависит только потенциальная энергия системы.

Наша задача будет заключаться в исследовании того, как меняется вид фазовой плоскости при изменении параметра. Мы не будем затрагивать важный вопрос о том, как будет вести себя какое-нибудь определенное движение, имеющее определенные начальные условия, при достаточно медленном изменении параметра.

Основными элементами, определяющими качественную картину интегральных кривых для консервативных систем, являются особые точки и сепаратрисы. Если мы знаем вид сепаратрис (особые точки типа седла суть точки самопересечения сепаратрис) и относительное расположение сепаратрис и состояний равновесия типа центра, то мы можем воспроизвести в общих чертах всю картину интегральных кривых.

При изменении параметра интегральные кривые будут меняться. Однако, если, как мы предположим, потенциальная энергия является аналитической функцией параметра, то эти изменения будут совершаться непрерывно. Общий вид интегральных кривых будет претерпевать, вообще говоря, только количественные изменения, и лишь при некоторых особых, так называемых «бифуркационных» значениях параметра мы будем иметь качественные изменения характера интегральных кривых. Как мы уже сказали, в случае консервативной системы основными элементами, определяющими качественную картину интегральных кривых на фазовой плоскости, являются особые точки и сепаратрисы. Поэтому бифуркационными значениями параметра в этом случае служат те значения параметра, при которых происходит изменение числа или характера этих основных элементов.

Более точно и более общо можно дать такое определение, не связанное с консервативностью системы: значение параметра мы назовем обыкновенным, если существует такое конечное что для всех удовлетворяющих неравенству мы имеем одну и ту же топологическую структуру разбиения фазовой плоскости на интегральные кривые. Другие значения параметров, для которых это условие не соблюдается, мы назовем бифуркационными.

Рис. 72.

Мы изложим сравнительно подробно развитую Пуанкаре [182, 183] теорию зависимости состояний равновесия от параметра, так как она нам понадобится при исследовании автоколебательных систем; другие бифуркационные случаи, связанные с зависимостью сепаратрис от параметра, мы лишь иллюстрируем примерами.

Предположим, что потенциальная энергия системы (2.1), а, значит, вместе с тем и сила, является функцией параметра который может принимать различные значения. Положения равновесия характеризуются тем, что для них сила равна нулю, т. е.

Решая это уравнение относительно х, можно найти положения равновесия, которые имеет рассматриваемая консервативная система при том или ином значении параметра можно проследить, как меняются положения равновесия при изменении

Зависимость положений равновесия от параметра может быть наглядно проиллюстрирована так называемой бифуркационной диаграммой — кривой построенной на плоскости Пусть, например, эта кривая имеет вид, изображенный на рис. 72. Прямая параллельная оси ординат, пересекает кривую в трех точках; это, очевидно, означает, что при данном значении параметра система имеет три положения равновесия При уменьшении положения равновесия сближаются, при сливаются и затем пропадают (при существует только одно положение равновесия: Значение параметра является, таким образом, бифуркационным значением. Также бифуркационными будут значения при которых также происходит изменение числа равновесных состояний системы.

Дифференцируя уравнение (2.22) по имеем:

или

Отсюда следует, что в окрестности точки кривой для которой является непрерывно дифференцируемой функцией Поэтому, если для некоторого значения параметра система уравнений

не имеет действительных решений для х, мы можем утверждать, что в достаточно малой окрестности этого значения параметра абсциссы х всех положений равновесия являются непрерывно дифференцируемыми функциями параметра и их число не может изменяться. Тем самым такое значение не является бифуркационным (в том смысле, что при переходе через не происходит изменения числа состояний равновесия).

Пусть теперь в некоторой точке кривой также и Если то кривая в этой точке имеет вертикальную касательную, и когда проходит (в соответствующем направлении) через значение, соответствующее этой точке, два действительных корня для х сливаются, а затем становятся комплексными. Это — точка бифуркации, в которой происходит изменение числа состояний равновесия (точки на рис. 72). Если же в точке кривой , то мы имеем дело с особой точкой (в смысле дифференциальной геометрии) этой кривой. Эта точка (точка А на рис. 72) будет также точкой бифуркации, так как при значении соответствующем этой точке, число равновесных состояний всегда иное, чем при соседних значениях этого параметра.

Таким образом, точки кривой для которых являются точками бифуркации, а соответствующие значения параметра бифуркационными значениями. Кроме этих значений бифуркационными значениями параметра будут те значения, при которых кривая уходит в бесконечность (это будет иметь место, если эта кривая имеет бесконечные ветви с вертикальными асимптотами).

Каждому положению равновесия соответствует определенное состояние равновесия определенная особая точка на фазовой плоскости. Характер особых точек или, что все равно, устойчивость состояний равновесия определяется, как мы видели, знаком производной Именно, при

(потенциальная энергия минимальна) состояние равновесия устойчиво (типа центра), а при

(потенциальная энергия максимальна) состояние равновесия является седлом и неустойчиво.

Рис. 73.

Нетрудно дать, следуя Пуанкаре, простой рецепт для быстрого определения устойчивости состояний равновесия при помощи бифуркационной диаграммы. Отметим (заштрихуем) на плоскости области (кривая очевидно, будет их границей). Если данная точка лежит над заштрихованной областью, то она соотвеетствует устойчивому состоянию равновесия. Действительно, вблизи этой точки функция убывает с увеличением фиксировано) от положительных значений внутри заштрихованной области до нуля на кривой Следовательно, что соответствует особой точке типа центра и устойчивому состоянию равновесия. Если же точка кривой лежит под заштрихованной областью, то она соответствует неустойчивому состоянию равновесия, так как для нее в силу аналогичных соображений имеет место неравенство Следуя этому рецепту, сразу находим, что, например, на рис. 73 точки участков (начерченных жирной линией с точками) соответствуют устойчивым, а точки участков и (начерченных тонкой линией с кружками) — неустойчивым состояниям равновесия.

Обратим теперь внимание на следующее. Если мы будем двигаться на бифуркационной диаграмме вдоль кривой то характер состояния равновесия, т. е. его устойчивость или неустойчивость, будет сохраняться до тех пор, пока мы не дойдем до точки бифуркации. Нетрудно видеть, что если мы будем продолжать двигаться дальше по кривой, следуя направлению касательной (т. е. следя за тем, чтобы касательная вращалась непрерывно), то в точке бифуркации устойчивое состояние равновесия сменится неустойчивым

и наоборот. На рис. 73 такая смена устойчивости происходит в точках

Итак, мы видим, что при изменении параметра состояния равновесия в конечной части фазовой плоскости могут исчезать и появляться только парами, причем (и это отличительная особенность консервативных систем) состояние равновесия может изменить свою устойчивость, например из устойчивого превратиться в неустойчивое, только предварительно слившись с другим состоянием равновесия.

В смысле смены устойчивости состояния равновесия консервативных систем образуют замкнутую систему, поведение которой при изменении параметра можно изучать отдельно от поведения сепаратрис.

Те значения параметра, при которых состояния равновесия сливаются или уходят в бесконечность, конечно, принадлежат к бифуркационным значениям параметра, но, вообще говоря, ими не исчерпываются все бифуркационные значения, так как могут быть существенные изменения в характере сепаратрис при неизменном числе и характере состояний равновесия.

Относительно бифуркационных значений этого второго типа мы не будем высказывать никаких общих соображений, а познакомимся с ними на отдельных конкретных примерах, которые мы сейчас рассмотрим. На этих же примерах мы проиллюстрируем все сказанное выше относительно бифуркационных значений, в которых происходит изменение в характере состояний равновесия.