§ 7. Мультивибратор с одной RС-цепью

Другим примером электрической автоколебательной системы может служить так называемый мультивибратор (с одной RС-цепью), схема которого изображена на рис. 206. Такой мультивибратор генерирует колебания напряжения, по форме близкие к «прямоугольным», — периодическую последовательность почти прямоугольных импульсов напряжения.

Рис. 206.

Уравнения колебаний мультивибратора, если учитывать только те элементы схемы, которые изображены на рис. 206, и пренебрегать сеточным током лампы запишутся в виде:

Пренебрегая анодной реакцией, мы можем считать анодные токи ламп однозначными функциями сеточного напряжения и на лампе В частности, зависимость анодного тока лампы от этого напряжения

дается характеристикой ламповой группы которая, как мы видели в п. 3 § 6 настоящей главы, имеет вид, изображенный на рис. 207. Ниже, для некоторого упрощения рассмотрения колебаний схемы, будем считать, что середина падающего участка — место наибольшей крутизны — лежит при напряжении (будем обозначать через наибольшее абсолютное значение крутизны характеристики на падающем участке: тогда

Рис. 207.

Исключая (напряжение на конденсаторе С) из уравнений (4.40), мы получим дифференциальное уравнение первого порядка для напряжения на сетке лампы

Поскольку ток является однозначной функцией напряжения и, задание и однозначно определяет т. е. состояние рассматриваемой нами динамической модели мультивибратора. Поэтому мы можем взять в качестве фазовой линии системы прямую .

Рис. 208.

Рис. 209.

Единственным состоянием равновесия, как это следует из уравнения (4.41), является состояние Его устойчивость, очевидно, определяется следующим линеаризованным уравнением (уравнением

первого приближения):

где

— коэффициент, имеющий смысл коэффициента передачи усилителя, который получается из мультивибратора размыканием цепи сетки лампы (разрывом соединения точек на рис. 206; точка а — вход и точка выход усилителя).

Если состояние равновесия устойчиво и устанавливается в системе при любых начальных условиях, так как в силу неравенства при

Разбиение фазовой прямой на фазовые траектории для этого случая невозбуждающегося мультивибратора дано на рис. 209, а.

Иная картина получается при (рис. 209, б), когда состояние равновесия неустойчиво (мультивибратор самовозбуждается). Обозначим через те значения и, при которых коэффициент при в уравнении (4.41) обращается в нуль т. е. обращается в бесконечность Очевидно, определяются уравнением

При переходе через или меняет знак, поэтому при при при наконец,

Следовательно, изображающая точка при любых начальных условиях приходит или в точку или в точку которые, однако, не являются состояниями равновесия и из которых нет выходящих фазовых траекторий.

Таким образом, уравнение примененной нами динамической модели мультивибратора — уравнение -приводит систему в такие состояния или из которых с точки зрения этого уравнения нет выхода. Наша динамическая модель мультивибратора, полученная в результате учета только некоторых свойств реального мультивибратора и описываемая уравнением (4.41), оказалась неудовлетворительной, противоречивой и не может отображать колебания в реальном мультивибраторе.

Дело здесь, конечно, в том, что при построении динамической модели мультивибратора не учли каких-то существенных

факторов, коренным образом определяющих закономерности колебательных процессов в мультивибраторе на некоторых этапах движения.

Такими существенными параметрами, определяющими закономерности колебаний в мультивибраторе на этих этапах движения, являются малые паразитные емкости в схеме (емкости анодного узла лампы и сеточного узла лампы или же емкость катодного узла). Эти емкости, несмотря на их малость, играют определяющую роль во время быстрых изменений напряжения и на сетке лампы составляющих одну из характерных особенностей колебаний мультивибратора. При учете паразитных емкостей или емкости мы придем к динамической модели второго порядка (с одной степенью свободы), которая будет достаточно удовлетворительно отображать колебания, происходящие в мультивибраторе. Такая динамическая модель мультивибратора будет рассмотрена в § 5 гл. VIII и в § 4 гл. X.

Другой путь, дающий возможность рассмотреть колебания в мультивибраторе, состоит в «исправлении» динамической модели первого порядка путем введения некоторых дополнительных постулатов, которые указывали бы закон движения системы из состояний заменяя уравнение (4.41) на определенных этапах колебаний. Эти дополнительные постулаты устанавливаются или на основании экспериментальных данных о колебательных процессах в мультивибраторе и некоторых дополнительных физических соображений, или же путем рассмотрения «более полной» динамической модели с фактическим учетом существенных паразитных параметров, но полагая их достаточно малыми (точнее, стремящимися к нулю). Последний метод будет нами использован в гл. X при рассмотрении ряда колебательных систем с «разрывными» колебаниями

Сейчас же мы рассмотрим колебания мультивибратора, пользуясь динамической моделью первого порядка, дополненной постулатом о скачках напряжения и на сетке лампы Известно, что мультивибратор при совершает автоколебания, которые носят «разрывный» характер: сравнительно медленные изменения напряжения и периодически сменяются весьма быстрыми. Скорости последних определяются скоростями перезаряда паразитных емкостей схемы и тем больше, чем меньше паразитные емкости (наиболее существенными из них являются емкости При достаточно малых паразитных емкостях мы можем рассматривать эти быстрые изменения напряжения как бесконечно быстрые, как мгновенные, скачкообразные.

В соответствии с этим мы дополним нашу динамическую модель мультивибратора постулатом о том, что в модели наряду с движениями,

подчиняющимися уравнению (4.41), могут иметь место мгновенные, скачкообразные изменения напряжения и, которые, конечно, уравнению (4.41) не подчиняются. Уравнение (4.41) заведомо не пригодно для описания движения системы после того, как последняя пришла в состояние или в состояние поэтому мы предположим, что из этих состояний система выходит путем скачка в такие состояния, в которых уравнение (4.41) снова определяет закон движения. Для определения состояний, в которые система перескакивает, необходимо привлечь дополнительные физические соображения. Предположим, что в схеме не может быть бесконечных напряжений и токов. Тогда в силу нашего предположения ток заряда конденсатора

Свсегда ограничен; следовательно, при скачках напряжения и напряжение на конденсаторе С изменяться не будет, так как иначе что невозможно. Этого условия непрерывности напряжения на конденсаторе С («условия скачка») в рассматриваемой задаче достаточно для однозначного определения состояния, в которое приходит система в результате скачка.

Исключая из уравнений мы получим как функцию напряжения и:

(само собой разумеется, что это соотношение справедливо только для тех состояний мультивибратора, для которых соблюдается уравнение (4.41) или, что то же самое, уравнения (4.40)). Очевидно, что является однозначной и непрерывной функцией и. Ее график при приведен на рис. 210, а (нетрудно видеть, что при Поскольку состояния мультивибратора непосредственно перед скачком или и после скачка или соответственно таковы, что для них справедливо уравнение (4.41), а следовательно и соотношение (4.43), и при скачке

не изменяется, состояние мультивибратора непосредственно после скачка из состояния определяется уравнением

или

Графическое решение этого уравнения дано на рис. 210, а. Очевидно, состояние мультивибратора после скачка однозначно определяется его состоянием перед скачком однозначно определяются соответственно по

Рис. 210.

Рис. 211.

Таким образом, колебания в мультивибраторе оказываются периодическими и состоят из медленных изменений напряжения и (с конечной скоростью) от до и от до подчиняющихся уравнению (4.41), и скачкообразных изменений от до и от до определяемых условиями скачка. На рис. 210, а этому периодическому движению соответствует замкнутая кривая абвга (участки соответствуют «медленным», с конечной скоростью, а участки «быстрым», скачкообразным изменениям напряжения к). Осциллограммы колебаний напряжений приведены на рис. 211. Колебания напряжения на конденсаторе С непрерывны и имеют «пилообразную» форму, а колебания анодного напряжения лампы близки к «прямоугольным»,

Для определения периода автоколебаний нужно проинтегрировать уравнение (4.41) или

в пределах от до и от до так как длительность скачкообразных изменений напряжения и предполагается равной нулю. Для вычисления периода можно ограничиться простейшей симметричной кусочно-линейной характеристикой ламповой группы (рис. 212, а).

Рис. 212.

В областях, по которым нужно производить интегрирование, — в области отсутствия тока и в области тока насыщения эта характеристика достаточно удовлетворительно отображает свойства реальной ламповой группы (ламп с общим катодным сопротивлением). В этих областях уравнение (4.41) является линейным:

и легко интегрируется. В результате интегрирования получается сравнительно простая, весьма характерная для процессов подобного рода формула для периода:

где, как и раньше,

В эту формулу помимо постоянной времени входит еще и логарифмическая зависимость от коэффициента К, из которой следует, что при приближении к границе возбуждения быстро возрастает частота колебаний. Частота колебаний возрастает также и при уменьшении емкости С. Однако, строго говоря, при больших частотах колебаний мы уже не можем рассматривать мультивибратор как систему с степени свободы (без фактического учета малых паразитных емкостей схемы), так как в этом случае их роль настолько существенна, что колебания перестают быть разрывными и приближаются по своей форме к синусоидальным.

Итак, мы смогли рассмотреть колебания в мультивибраторе, «дополнив» его динамическую модель первого порядка постулатом о скачках напряжения на сетке и лампы В такой «дополненной» динамической модели напряжение и на интервале уже не определяет однозначно состояния системы, так как при этих напряжениях мы имеем различные законы движения в зависимости от того, какое движение («медленное» или «быстрое», скачкообразное) имеет место. В соответствии с этим фазовой линией для модели, дополненной постулатом о скачках, будет не прямая и, а линия «с наложениями», изображенная на рис. 210, б и топологически эквивалентная линии и на рис. 210, а. На участках движение определяется уравнением (4.41), а скачки из а в и из в в изображенные тонкими линиями, — постулатом о скачках напряжения и на участке на участке Фазовая линия, как и в других примерах, разобранных в § 7 настоящей главы, допускает замкнутую фазовую траекторию, которая соответствует разрывным периодическим колебаниям мультивибратора.

На этом мы закончим рассмотрение динамических систем первого порядка (к рассмотрению разрывных колебаний в таких системах мы вернемся в гл. X) и перейдем к рассмотрению динамических систем второго порядка.