3. Модель часов с кулоновским трением.

Рассмотрим для объяснения жесткого режима возбуждения колебаний в часах ударную модель часов с сухим, кулоновским трением. Мы уже рассмотрели движение осциллятора с кулоновским трением (§ 3 гл. III). При надлежащем выборе единиц уравнение движения такого осциллятора имеет вид

где наибольшая сила трения покоя, деленная на коэффициент упругости пружины осциллятора. На фазовой плоскости, как мы уже видели, фазовые траектории будут спиралями, составленными из кусков полуэллипсов или в нашем случае (в силу выбора единиц) из кусков полуокружностей; центром полуокружностей в верхней полуплоскости является точка а в нижней — точка

Добавив мгновенные удары, мы получим ударную модель часов с кулоновским трением. Пусть спусковое устройство наносит колебательной системе (балансиру часов) один удар за колебание. Для простоты рассмотрения мы несколько «перенесем» место удара и будем считать, что удар происходит в момент, когда балансир проходит в положительном направлении через точку а не через точку

Рис. 132.

Рассмотрим сначала первое предположение относительно закона удара: положим, что

или, пользуясь обозначениями фазовой плоскости,

Чтобы ответить на вопрос о характере возможных движений в этом случае, мы рассмотрим характер траекторий на фазовой плоскости и найдем функцию последования для скоростей балансира непосредственно после ударов. Пусть скорость балансира непосредственно после удара равна точка изображающая ее состояние, имеет координаты Отсюда изображающая точка, как мы только что отмечали, будет двигаться по окружности с центром в точке и с радиусом (рис. 132). Дойдя до полуоси положительных х, она или попадет на отрезок покоя

состоящий из состояний равновесия (это будет при или же перейдет в нижнюю полуплоскость и будет там двигаться (без скачков) по полуокружности с центром в точке радиус которой равен

Если то изображающая точка все же попадет на отрезок покоя (на этот раз — снизу). Только при т. е. при и, 4/0, изображающая точка перейдет на верхнюю полуплоскость и будет там двигаться по четверти окружности, центром которой снова является точка а радиус равен пока не придет на «полупрямую ударов» в точке с ординатой

Рис. 133.

В этом состоянии колебательной системе наносится подталкивающий мгновенный удар, в результате чего скорость у мгновенно увеличивается на величину а, и изображающая точка скачком переходит в точку где

Соотношение (3.35) и есть искомая функция последования, определяющая по заданной скорости системы после удара скорость непосредственно после следующего удара. Очевидно, последовательность скоростей после удара

составляет арифметическую прогрессию с общим членом

Легко видеть, что характер возможных движений в нашей системе зависит от знака

Случай I. В этом случае (рис. 133), каковы бы ни были начальные условия, колебания системы будут затухать, и изображающая точка после конечного числа размахов дойдет до отрезка состояний равновесия, простирающегося на в обе стороны от начала координат.

Случай II. . В этом случае фазовая плоскость может быть разбита на две области с различными характерами возможных движений.

Рис. 134.

Именно, если в начальный момент представляющая точка находится внутри области (рис. 134), то система в конечное время дойдет до отрезка состояний равновесия; колебания системы прекратятся. Если же начальные условия соответствуют точкам, лежащим вне этой области или на границе, колебания системы будут неограниченно нарастать.

Случай III. . В этом идеальном случае полного равенства фазовая плоскость также может быть разбита на две части с различным характером возможных движений. Если начальные условия лежат внутри области (рис. 135), то изображающая

точка придет, еще не успев сделать полного оборота, к отрезку состояний равновесия. Если же начальные значения лежат вне этой области, то все движения суть периодические, с амплитудой, которая определяется начальными условиями.

В этом последнем случае мы имеем дело с континуумом периодических движени», т. е. с обстоятельством, характерным для консервативной системы. Но как и всякая консервативная система, наша система неустойчива по отношению к малым изменениям параметров. Достаточно, например, немного изменить величину чтобы прийти к случаю I или II, т. е. к существенно иной картине.

Рис. 135.

Мы видим, таким образом, что принятая нами на этот раз идеализация закона трения и закона удара не отображает наиболее существенной черты реальных часов, именно того, что в часах возможны периодические движения только с вполне определенной амплитудой, не зависящей от начальных условий. Достаточно, однако, изменить допущение о характере ударов, сохранив предположение о характере сил трения, чтобы снова получить систему, способную совершать периодическое движение только с одной, вполне определенной амплитудой. Примем снова, что при ударе спусковой механизм сообщает системе одну и ту же кинетическую энергию, т. е. положим, что

где константа, величина которой определяется устройством спускового механизма.

В этом случае величина «скачка» а на фазовой плоскости снова не будет постоянна, а будет зависеть от скорости движения нашей системы в момент, непосредственно предшествующий удару. Именно, как следует из выражения (3.36), а величина «скачка» убывает в зависимости от предударной скорости у по гиперболическому закону. Функция последования для скоростей балансира после удара, поскольку по-прежнему последующая скорость до удара дается выражением (3.34), очевидно, запишется в виде

(по-прежнему изображающая точка после оборота возвращается на «полупрямую ударов» только при при изображающая точка попадает на отрезок покоя и колебание балансира прекращается).

Рис. 136.

График функции последования (3.37) изображен на рис. 136. Это — гипербола, начинающаяся в точке с асимптотой . Пересечение этой гиперболы с прямой если оно существует, даст нам неподвижную точку которая является скоростью после удара для периодического движения. Очевидно, такая точка существует при

и если существует, то единственная. Для неподвижной точки имеем:

откуда

(для нее, очевидно, должно быть что выполняется при Амплитуда периодических колебаний балансира часов, очевидно, равна

Условие (3.38), как легко видеть, предъявляет известные требования к силе пружины или весу гири заводного механизма.

Действительно, так как путь, проходимый гирей при каждом ударе, задан конструкцией механизма, то работа, совершаемая гирей, должна быть во всяком случае больше, чем энергия, сообщаемая системе. Следовательно, чем больше тем больше должен быть вес гири, чтобы условие (3.38) могло быть соблюдено. Если условие (3.38) выполнено, то в системе возможен единственный периодический процесс с определенной амплитудой, которому соответствует на фазовой плоскости замкнутая траектория, составленная из частей окружностей и отрезка оси у длиной а. Можно показать, хотя бы путем построения «лестницы Ламерея» (рис. 136) или пользуясь теоремой Кенигса (см. § 7 гл. V), что рассматриваемая неподвижная точка устойчива и, следовательно, имеет место процесс приближения соседних движений к найденному периодическому.

Отсюда же следует, что предельное периодическое движение устойчиво в смысле Ляпунова.

Рис. 137.

Полученная нами картина на фазовой плоскости (рис. 137) показывает, что при сделанных предположениях (постоянное кулоновское трение и постоянное приращение энергии при ударе) система обладает обоими наиболее характерными свойствами часового механизма: 1) наличие единственного периодического процесса (с определенной амплитудой) и 2) необходимость начального толчка (или отклонения) конечной величины для того, чтобы этот процесс

установился. Второе из этих свойств, как легко видеть, обусловлено наличием постоянного трения в системе, и чем больше постоянное трение, тем больше область, в которой начальные отклонения затухают, и тем больше должен быть начальный толчок, чтобы часы пошли. Постоянное трение неизбежно присутствует в часах, так как маятник часов должен при движении привести в действие спусковой механизм, а для этого при любой конструкции механизма необходимо преодолеть трение покоя, имеющее конечную величину, для чего маятник должен обладать некоторой энергией. Таким образом, второе типичное свойство часов (необходимость начального толчка достаточной величины) тесно связано с самим принципом устройства часов. Особенности же устройства часов, обусловливающие это свойство, прежде всего могут быть охвачены предположением, что в часах присутствует постоянное трение. Самое предположение о постоянном трении, как и всякая идеализация, конечно, не охватывает всех свойств системы, а отражает наиболее характерную черту этой системы. Именно, предположение о постоянном трении может быть сделано тогда, когда в системе присутствуют силы трения, которые при сколь угодно малой скорости движения все же сохраняют конечную величину. Если же при достаточно малой скорости силы трения становятся сколь угодно малыми, то лучше отражает свойства системы предположение о «линейном трении». Конечно, в часах присутствует и то и другое трение; трение в спусковом механизме лучше может быть отражено при помощи первой идеализации, а сопротивление воздуха движению маятника — при помощи второй. Однако учет трения о воздух, т. е. введение линейного трения, не дало бы ничего нового, только вместо частей окружности на фазовой плоскости нужно было бы проводить части спирали. Постоянное же трение связано с существенно новым свойством — с отсутствием самовозбуждения колебаний и необходимостью начального толчка для установления периодического процесса, т. е. с наличием жесткого режима возбуждения автоколебаний.

Те же результаты мы получим, рассматривая модель часов с двумя подталкивающими ударами за каждое колебание (при и при . И в этом случае предположение, что при каждом ударе балансиру сообщается одно и то же количество движения не может отобразить основных свойств часов, именно, существования устойчивых периодических колебаний. Если же предположить, что каждый удар увеличивает кинетическую энергию балансира на определенную, всегда одну и ту же величину, т. е. что при ударе то для скоростей после ударов получается функция последования

где — заданная и последующая скорости балансира после ударов (под здесь понимаются абсолютные значения скоростей).

Иначе говоря, модель с двумя ударами ведет себя так же, как и модель с одним ударом за период, но с вдвое меньшим трением: при существует единственное устойчивое периодическое движение, которое устанавливается при всех скоростях после удара если же то система приходит в одно из состояний равновесия. Картина на фазовой плоскости для модели часов с двумя ударами за период в предположении, что закон удара выражается соотношением (3.36) и что изображена на рис. 138.

Рис. 138,

Замкнутая разрывная кривая является устойчивым (разрывным) предельным циклом, который соответствует периодическим автоколебаниям колебательной системы (балансира, маятника) часов.

Все те выводы, к которым мы пришли, рассматривая разные предположения о законе трения и характере толчков, могут быть пояснены простыми энергетическими соображениями. Для этого нужно лишь иметь в виду, что при линейном трении энергия, рассеиваемая за период, пропорциональна квадрату амплитуды, а при постоянном трении она представляет собой линейную функцию амплитуды. С другой стороны, при ударе по закону — энергия, поступающая систему за период, возрастает на величину

т. е. (так как является линейной функцией амплитуды. При ударе же по закону — энергия системы

возрастает за период на постоянную величину. После этого сразу становятся ясными основные полученные нами результаты. Всякий периодический процесс возможен только при условии, что энергия системы по прошествии периода имеет ту же величину, что и в начале периода.

Рис. 139.

Рис. 140-

Посмотрим, может ли быть соблюдено это условие в разных рассмотренных нами случаях. В первом случае («линейное трение» и удар по закону потери энергии растут пропорционально квадрату амплитуды, а поступление энергии в систему есть линейная функция амплитуды. Ясно, что где-то и только при одной определенной амплитуде наступает баланс энергии и существует только одна стационарная амплитуда (рис. 139). Во втором случае (линейное трение и удар по закону потери пропорциональны квадрату амплитуды, а поступление энергии — постоянная величина. Опять-таки существует только одна стационарная амплитуда, при которой имеет место баланс энергии (рис. 140). В третьем случае (постоянное трение и удар по закону и потери и поступление энергии — линейные функции амплитуды. Следовательно, либо вообще нет стационарной амплитуды, либо таких стационарных амплитуд бесконечное множество.

Рис. 141.

Наконец, в четвертом случае (постоянное трение и удар по закону потери энергии есть линейная функция амплитуды, а поступающая энергия имеет постоянную величину, и снова возможна только одна стационарная амплитуда, для которой наступает баланс энергии (рис. 141).